Oberflächenintegral von r-Vektor Würfel und Kugel

Question

Hallo @all,

ich soll das Oberflächenintegral des Vektorfeldes \(\vec A(\vec r)=\vec r\) über die Fläche eines Würfels mit Kantenlänge a und einer Kugel mit Radius r berechnen. Die beiden Objekte haben jeweils ihren Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Ich weiß, wie man ein Oberflächenintegral grundsätzlich berechnet, aber ich brauche Hilfe bei der Parametrisierung der Obeflächen.

Danke euch im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Du benötigst hier gar keine Parametrisierung. Die beiden betrachteten Objekte, Würfel und Kugel, haben geschlossene Oberflächen, daher kannst du den Gauß'schen Integralsatz anwenden:

$$\oint\limits_F\vec r\,d\vec f=\int\limits_V\nabla\cdot\vec r\,dV=\int\limits_V3\,dV=3V$$Die gesuchten Integrale sind also \(3a^3\) für den Würfel und \(4\pi r^3\) für die Kugel.

Comments

Wenn man es liest, ist es völlig klar... aber selbst darauf zu kommen ist schon eine andere Herausforderung.

Vielen Dank für diese sehr kurze und elegante Lösung.

Answer 2

Hallo

Kugeloberfläche : Kugelkoordinaten , kannst du überall nachlesen, auch das Oberflächenelement, das überall senkrecht auf r Vektor steht ( verwechsle den Vektor r nicht mit dem konstanten R der Kugel.)

Würfel: EbenenGleichungen x=a/2, y=a/2 und z=a/2 und die negativen dazu, müssen jeweils einzeln integriert werden!