Zeigen Sie, dass eine Ausage der Mengenlehre gilt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Aussage: $$(\cap_{i=1}^n  A_{i})^c=(\cup_{i=1}^nA_{i}^c)$$ gilt.

Problem/Ansatz

Abgesehen davon, dass ich mir nicht genau sicher bin, wie ich die Vereinigungsmenge und die Schnittmenge genau berechnen soll, weiss ich nicht genau wie weiter. Meine Idee war anzunehmen, dass die die Linke Seite dass Komplement der Schnittmenge aller A_i ist (somit fast alles, da die Schnittmenge ja immer kleiner wird, wenn die A_i's verschieden sind)und die rechte Seite die Vereinigung aller Komplemente von A_i. Angenommen, ich liege richtig, dann suche ich einen Weg, wie ich dies Zeigen kann.

Answer 1

\(\displaystyle\left(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\right)^C\)

\(\displaystyle=\{a:a\in\left(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\right)^C\wedge a\notin\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\}\)

\(\displaystyle=\{a:a\in\left(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\right)^C\wedge\lnot\left(\forall i\in\{1,...,n\}:a\in A_i\right)\}\)

\(\displaystyle=\{a:a\in\left(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\right)^C\wedge\exists i\in\{1,...,n\}:a\notin A_i\}\)

\(\displaystyle=\{a:\exists i\in\{1,...,n\}:a\in\left(\bigcap\limits_{i=1}^nA_i\right)^C\wedge a\notin A_i\}\)

\(\displaystyle=\bigcup\limits_{i=1}^nA_i^C\)

Comments

Die Äquivalenzpfeile gehören da aber nicht hin.

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Stimmt, danke.

Answer 2

Anschaulich kannst du dir die Beziehung mit einem Mengendiagramm klar machen.

Zeichne ein Rechteck und darein zwei ellipsenförmige Flächen für zwei Mengen, die sich überschneiden. Die Überschneidungsfläche stellt den Durchschnitt der beiden Mengen dar. Färbe alles außerhalb dieser Fläche. Das entspricht der linken Seite der gegebenen Beziehung.

Die rechte Seite bekommst du, indem du zu jeder Ellipse die außerhalb liegende Fläche einfärbst. Die einzige Fläche die dann frei ist, ist die Überschneidungsfläche, also genau wie auf der linken Seite.