Gleichungssystem Lösen unendlich viele Lösungen

Question

Aufgabe:

1. 06A+0,1B+0,1C =A

2. 0,3A+0,8B+0,2C = B

3. 0,1A+0,1B+0,7C = C

Bitte um genaue Lösung des Gleichungssystem. Habe als Lösung: C = t; B = 2,2t; A = 5,75t

Danke:-)

Comments

Was hindert dich, mit deiner Lösung die Probe in allen drei Gleichungen zu machen?

---

Also meinst du:

0,6 (5,75t) +0,1(2,2t) +0,1t = 2,2t

...

???

---

Ja gut, das kommt nicht das selbe raus; aber ich habe alles überprüft???

Kann einer bitte es mit den Gauß Verfahren lösen...

---

0,6A+0,1B+0,1C =A

 0,3A+0,8B+0,2C = B

 0,1A+0,1B+0,7C = C

ergibt "sortiert"

-0,4A+0,1B+0,1C =0

0,3A-0,2B+0,2C = 0

0,1A+0,1B-0,3C = 0

Answer 1

Subtrahiere zuerst a, b und c sodass alle Gleichungen auf der rechten Seite eine Null haben

- 0.4·a + 0.1·b + 0.1·c = 0
0.3·a - 0.2·b + 0.2·c = 0
0.1·a + 0.1·b - 0.3·c = 0

2I - II ; 2III - II

- 0.5·a + 0.4·c = 0
0.5·a - 0.4·c = 0

Die Gleichungen sind linear abhängig und damit kann eine gestrichen werden.

0.5·a - 0.4·c = 0 --> a = 0.8·c

0.1·(0.8·c) + 0.1·b - 0.3·c = 0 --> b = 2.2·c

Damit lautet die Lösung [0.8·c, 2.2·c, c] oder mit t einfach [0.8·t, 2.2·t, t]

Comments

Ich weiß ja nicht für was deine Lösung ist. Ich finde es schlau für eine Stabile Verteilung die Bedingung a + b + c = 1 statt einer der 3 anfänglichen Gleichungen zu benutzen.

Dann hat dein Vektor gleich noch eine Bedeutung. Denn an der allgemeinen Lösung wie du sie mit t hast kannst du nicht besonders geschickt etwas ablesen.

---

Hää, aber warum geht das bei mir nicht?

1. -0,4A+ 0,1B +0,1C = 0

2. 0,3A -0,2B +0,2C = 0 |0,4*2 + 0,3*1.

3. 0,1A+ 0,1B -0,3C = 0 | 0,4*(3.) + 0,1 *(1.)

---

1. -0,4A +0,1B +0,1C =0

2. 0 -0,05B +0,11C = 0

3. 0 +0,05B -0,11 = 0 |3. +2.

---

1. -0,4A +0,1B +0,1C =0

2. 0A -0,05B +0,11C = 0

3. 0A +0B +0C  = 0

C =t

B = 2,2t

A = 5,75t

hää?

---

1. -0,4A +0,1B +0,1C =0
2. 0A -0,05B +0,11C = 0
3. 0A +0B +0C  = 0

Setze allgemein für c = t ein.

Löse die II. nach b auf

b = 2.2·t

Setze das in die I. ein und löse nach a auf. Dann hast du alles in Abhängigkeit von t.

Wo ist das Problem?

---

C =t

B = 2,2t

muss in die erste Gleichung eingesetzt werden. Die erste Gleichung lautet nach Umstellen und Verzehnfachen

B+C=4A.

Beim Einsetzen wird daraus

3,2t=4A, also A=0,8 t.

---

Ich habe es nicht hinbekommen, wie geht es denn mit a+b+c = 1 ??

---

Was hast du nicht hinbekommen? Wo hängst du fest?

---

Also ich muss die Gleichungen ja Abhängig machen und in a+b+c =1 einsetzen..

---

Wenn du deine jetzigen Lösungen addierst, erhältst du

A+B+C =4t.

Wenn du deine Werte jeweils durch 4t teilst, ist die Summe 1.

---

Also: 0,2; 0,55;0,25 ??

---

Genau.

[0.2, 0.55, 0.25] = [4/20, 11/20, 5/20]

Ich hätte aber bei nächsten mal gleich das Gleichungssystem

a + b + c = 1
- 0.4·a + 0.1·b + 0.1·c = 0
0.3·a - 0.2·b + 0.2·c = 0

genommen. Dabei habe ich schon die 3. Zeile des alten Gleichungssystems weggelassen weil diese ja eh abhängig war.

Warum ist die 3. Zeile bei stochastischen Übergangsmatrizen übrigens immer linear abhängig?

---

hää? Das ist eine gute Frage XD

---

Streich mal in der Übergangsmatrix die letzte Zeile durch. Kannst du diese Zeile aus den oberen beiden Zeilen rekonstruieren?

---

theoretishc schon mit dem Additonsverfahren und ein bisshen mal rechnen...

---

theoretishc schon mit dem Additonsverfahren und ein bisshen mal rechnen...

nein. viel viel einfacher. Schau dir mal deine Matrix an. Was weiß man bei einer stochastischen Matrix.

---

Das die Summe der Spalten gleich 1 ist

---

Aha. Und nun nochmal:

Streich mal in der Übergangsmatrix die letzte Zeile durch. Kannst du diese Zeile aus den oberen beiden Zeilen rekonstruieren?

---

Ich weiß nicht was du genau mit rekonstruiern meinst

---

Na weißt du anhand der oberen beiden Zeilen was in der dritten Zeile stehen muss. Wenn diese eben weggestrichen worden war?

Rekonstruieren bedeutet Wiederherstellen.

---

hää, irgendwie ich weiß habe ich gerade einen dennkfehler

---

kannst du mir es bitte einmal erklären bitteeee

---

Wenn du weißt das die Spaltensumme 1 ist dann bildest du von der Summe der ersten beiden Spaltenelementen die Differenz zu 1. Das muss also das dritte element sein.

Also lautet z.B. eine Spalte

a
b
1 - a - b

wobei hier jetzt noch a, b und auch 1 - a - b keine negativen Werte sind.

Weil der dritte Wert immer von den beiden anderen abhängt sagt man also die Zeien sind hier linear abhängig.

---

Aha ok und deshlab kann man die dritte Zeile weg lassen doer was?

---

Genau. Du wirst auch immer feststellen das sich mit dem Gauss-Verfahren in der letzten Zeile eine Nullzeile ergibt. Das kannst du auch allgemein nachweisen.

---

Genau, aber wie soll ich das beweisen?

---

Dein Gleichungssystem sieht ja so im Original aus

a·x + b·y + c·z = x
d·x + e·y + f·z = y
(1 - a - d)·x + (1 - b - e)·y + (1 - c - f)·z = z

(a - 1)·x + b·y + c·z = 0
d·x + (e - 1)·y + f·z = 0
(1 - a - d)·x + (1 - b - e)·y + (- c - f)·z = 0

Jetzt siehst du schon das gilt: III = - I - II oder?

Also offensichtlich linear abhängig. Streichen wir also die überflüssige 3. Zeile und basteln unsere neue Bedingung dazu

x + y + z = 1
(a - 1)·x + b·y + c·z = 0
d·x + (e - 1)·y + f·z = 0

Dieses Gleichungssystem gilt es dann zu lösen: Ein Onlinerechner hat dann als Lösung

x = (b·f - c·e + c)/(a·e - a·f - a - b·d + b·f + c·d - c·e + c - e + f + 1)
y = (- a·f + c·d + f)/(a·e - a·f - a - b·d + b·f + c·d - c·e + c - e + f + 1)
z = (a·e - a - b·d - e + 1)/(a·e - a·f - a - b·d + b·f + c·d - c·e + c - e + f + 1)

Das muss man aber sicher nicht so allgemein Lösen.