Aloha :)
Das Gauß-Verfahren ist ein möglicher Ansatz. Ziel beim Gauß-Verfahren ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen.$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline4 & 2 & -3 & 8 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\2 & 0 & -3 & 2 & \\6 & 2 & a & 10 & -3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & 2 & 3 & 4 & \div2\\2 & 0 & -3 & 2 & \div2\\0 & 2 & a+9 & 4 & -\text{Zeile 1}\\\hline0 & \pink1 & 3/2 & 2 &\Rightarrow \pink y+\frac32z=2\\[1ex]\pink1 & 0 & -3/2 & 1 &\Rightarrow\pink x-\frac32z=1\\[1ex]0 & 0 & a+6 & 0 & \Rightarrow (a+6)\cdot z=0\\\hline\end{array}$$
1. Fall: \(a\ne-6\)
Die letzte Gleichung ist nur für \(z=0\) erfüllt. Dann ist \(\pink x=1\) und \(\pink y=2\).
Die Lösung des Gleichungssystems ist dann ein Punkt: \((x;y;z)=(1|2|0)\).
2. Fall: \(a=-6\)
Die letze Gleichung ist nun für alle \(z\in\mathbb R\) erfüllt. Bleiben als Bedingung für die Lösung nur noch die ersten beiden Gleichungen übrig. Wir stellen sie nach der pinken Variablen um:$$\pink y=2-\frac32z\quad;\quad \pink x=1+\frac32z$$und geben damit alle möglichen Lösungen an:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\frac32z\\[1ex]2-\frac32z\\[1ex]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}\frac32\\[1ex]-\frac32\\[1ex]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\frac z2\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}$$
Da wir für \(z\in\mathbb R\) jede beliebige reelle Zahl einsetzen dürfen, kann auch \(\frac z2\) jeden beliebigen reellen Wert annehmen, sodass wir die Lösungen mit einem neuen reellen Parameter \(s\coloneqq\frac z2\) schöner als eine Gerade schreiben können:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\\2\end{pmatrix}\quad;\quad s\in\mathbb R$$
