Zeigen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, das heißt …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, das heißt zeigen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem mit 2 verschiedenen Lösungen bereitsunendlich viele Lösungen besitzt. Tipp: Was gilt für den Mittelwert zweier verschiedener Lösungen des Systems?

Problem/Ansatz:

wie zeige ich formell, dass A*x=b eine oder keine Lösung hat: Soll ich das überhaupt bei dieser Aufgabenstellung machen ?

Comments

Soll ich das überhaupt bei dieser Aufgabenstellung machen ?

Die Aufgabenstellung ist doch anders formuliert!?

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reicht es aus wenn ich es für die unendlichen Lösungen mache?

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Hallo

nein, denn das ist ja nicht immer der Fall. keine oder eine sollst du coach auch zeigen.

Was habt ihr bisher über Lösungen von Ax=b bewiesen oder Ax=0?

lul

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Also ich weiß jetzt einfsch nur dass für unendliche dass so aussehen muss.

A*x=b

A*y=b        x,yeR^n mit x ungleich y

A*x+A*y=2b

<=> A*(0,5(x+y))=b

=> 0,5(x+y) ein anderer Vektor als x und y ist, dies kann unendlich mal machen und deswegen folgt die Unendlichkeit der Lösungsmenge

Wie man das so für keine Lösung und eine Lösung beweist Oder zeigt weiß ich nicht

Answer 1

Hallo,

die Aussage ist: Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele.

Die Gleichungssysteme

$$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \\1\end{pmatrix}$$

haben genau 1 Lösung bzw. keine Lösung. Diese Fälle gibt es also. Der einzige weitere mögliche Fall ist, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Das hast Du gezeigt: Wenn ein lineares Gleichungssystem 2 verschieden Lösungen hat, dann ist das Mittel aus beiden eine dritte Lösung usw.

Gruß Mathhilf

Comments

Also würde es als Beweis reichen:

für eine Lösung: ihr Beispiel zu nehmen

Und

Für keine Lösung auch ihr Beispiel zu nehmen.

Hätte ich dann alles bewiesen was man in der Aufgabe beweisen sollte ?

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Ja, nach meinem Verständnis ist damit alles gesagt

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Die Logik verlangt nicht, dass Beispiele für keine oder eine Lösung angegeben werden.

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Diese - zutreffende - Bemerkung erinnert mich an den Witz: Geht ein Mathematiker in eine Kneipe: "Ein Bier,bitte!" - "Alt oder Pils?" "Ja!"

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Hallo

wenn zwei Zeilenvektoren von A proportional sind, aber der Vektor b an den Stellen nicht dieselben Vielfachen hat, gibt es keine Lösung.

entsprechend wenn 3 Zeilen linear abhängig sind. und b entsprechend nicht passt.

lul