Ein Parallelogramm mit einem Schnittpunkt

Question

Aufgabe:

Ich habe ein Parallelogramm, welches die Diaganolane c und d besitzt. In der Mitte ist halt der Schnittpunkt S. S entspricht dieser Gleichung -> xc = a + yd

 

Problem/Ansatz:

Ich muss beweisen, dass der S die Hälfte der Diagonale ist.

Vorgehen:

c = a+b und d = b - a

Dies kann ich in S einsetzen -> x(a+b) = a + y(b-a)

Da ich nicht weiterkam, habe ich in der Lösung nachgeschaut. Dort wird die eine Seite auf 0 gesetzt, also x(a+b) = 0. Ich verstehe nicht ganz genau, wieso man das tut.

Answer 1

S = A + r·AC = B + s·BD
S = 0 + r·(a + b) = a + s·(b - a)
Die Gleichung muss jetzt für a und b gelten

Für a: r·a = a - s·a → a·r + a·s = a
Für b: r·b = s·b → b·r - b·s = 0

Aus der unteren Gleichung folgt r = s und damit folgt aus der oberen Gleichung r = s = 0.5

Comments

ich verstehe nicht ganz genau, wieso die Vektoren nur ergeben MÜSSEN. Ich komme schon auf die Gleichung und die Überlegungsweise der Formeln verstehe ich auch, jedoch wieso null? Weil wir die Vektoren AB BS und SA addieren? Am schluss haben wir ja noch a und b wieso fallen die einfachen weg? Die dürfen ja nicht gleich sein, sonst wären sie ja kollinear.

Verstehe das bei beiden Antworten nicht.

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Du hast bei dir die Gleichung

x·(a + b) = a + y·(b - a)

Wir suchen hier diejenigen Werte von x und y für die diese Gleichung immer erfüllt ist. D.h. die Vielfachen von a und b müssen rechts und links gleich sein. also

x·a = a - y·a
und 
x·b = y·b

Dieses Gleichungssystem gilt es für dich zu lösen.

Aus der unteren Gleichung folgt x = y

Aus der oberen folgt dann

x·a = a - x·a --> x = 1/2

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Ich verstehe es "rechnungstechnisch" schon. Ich kann es mir aber irgendwie mit den Vektoren nicht vorstellen. Was passiert, wenn ich die zwei Fakotren von a und b auf 0 setze geometrisch gesehen?

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Du setzt nicht die Faktoren a und b auf Null. Das missverstehst du.

Man betrachtet die Gleichung nur einmal für a und einmal für b getrennt.

Das ist vielleicht ein wenig wie mit einer Waage auf der auf beiden Seiten Äpfel und Birnen liegen.

Auf beiden Seiten ist sicher das gleiche wenn die Anzahl der Äpfel und die Anzahl der Birnen auf beiden Seiten gleich groß sind.

Du kannst also Äpfel und Birnen auch getrennt beobachten.

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bzw. wieso darf ich einfach a und b weglassen.

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Um die Menge an Äpfeln auf beiden Seiten anzugleichen brauch ich doch die Birnen nicht beachten und umgekehrt.

Answer 2

Bei solchen Aufgaben sucht man einen geschlossenen Weg mit S als Ecke, also z.B. ABSA.

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SA}=\vec{0}\)

\(\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+s(\vec{a}+\vec{b})=\vec{0}\)

\(\vec{a}+r\vec{b}-r\vec{a}+s\vec{a}+s\vec{b}=\vec{0}\)

Nach \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sortieren:

\(\vec{a}-r\vec{a}+s\vec{a}+r\vec{b}+s\vec{b}=\vec{0}\)

Ausklammern:

\(\vec{a}\cdot(1-r+s)+\vec{b}\cdot(r+s)=\vec{0}\)

Auf der linken Seite wird die Diagonale eines Parallelogramms berechnet, das durch die beiden verlängerten bzw. verkürzten Vektoren aufgespannt wird. Die Diagonale wird aber durch den Nullvektor beschrieben. Das geht nur, wenn beide Klammern null ergeben.

Mathematisch argumentiert: Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, daher müssen die Faktoren beide null sein, wenn der Nullvektor herauskommt.

1-r+s=0 und r+s=0

Beide Gleichungen addieren: 1+2s=0 → s=-0,5

r+s=0 → r = 0,5

s ist negativ, da der Vektor von S nach A in Gegenrichtung durchlaufen wurde.

Also: S halbiert beide Diagonalen.

Comments

ich verstehe nicht ganz genau, wieso die Vektoren nur ergeben MÜSSEN. Ich komme schon auf die Gleichung und die Überlegungsweise der Formeln verstehe ich auch, jedoch wieso null? Weil wir die Vektoren AB BS und SA addieren? Am schluss haben wir ja noch a und b wieso fallen die einfachen weg? Die dürfen ja nicht gleich sein, sonst wären sie ja kollinear.