a) 1)
D - Lampe Defekt
-D - Lampe nicht defekt
$$P(D)=\frac{1}{16}$$
Das bedeutet, jede Lampe hat einzeln eine Wahrscheinlichkeit von $$P(D)=\frac{1}{16}$$ defekt zu sein.
Das wiederum bedeutet, du hast eine Prüfzahl von 1 wenn die erste Lampe defekt ist, eine Prüfzahl von 2 wenn die zweite Lampe defekt ist, eine Prüfzahl von 3 wenn die dritte Lampe defekt ist usw. Jedoch musst du nur maximal 15 Tests durchführen, da nach 15 fehlgeschlagenen Tests die letzte Lampe definitiv defekt ist.
Somit gilt für xi von 1 bis 14:
$$P(X=x_i)=P(D)=\frac{1}{16}$$
und
$$P(X=15)=\frac{2}{16}$$
Das heißt (i=xi):
$$E(X)=\sum \limits_{i=1}^{14}x_i*P(x_i)+15*P(X=15)=\sum \limits_{i=1}^{14}x_i*\frac{1}{16}+15*\frac{2}{16}=8,4375$$
$$V(X)=\frac{1}{15}\sum \limits_{i=1}^{15}(x_i-E(X))^2=\frac{1}{15}\sum \limits_{i=1}^{15}(x_i-8.4375)^2=18,858$$
2) Für innerhalb der Achtergruppen:
D2 - Lampe Defekt
-D2 - Lampe nicht defekt
Nun gilt für X generell X>1, da du 1 Test brauchst, um die Achtergruppe mit defekter Lampe zu ermitteln.
Innerhalb der ermittelten Achtergruppe hast du jetzt jeweils eine Wahrscheinlichkeit von $$P(D_2)=\frac{1}{8}$$ die defekte Lampe zu erwischen (sind ja jeweils nur noch 8 Lampen übrig), wobei du maximal 8 Versuche brauchen wirst (dann ist es klar, dass die letzte Lampe defekt sein muss)
Somit gilt für xi von 2 bis 7:
$$P(X=x_i)=P(D_2)=\frac{1}{8}$$
$$P(X=8)=\frac{2}{8}$$
Das heißt (i=xi):
$$E(X)=\sum \limits_{i=2}^{7}x_i*P(x_i)+8*P(X=8)=\sum \limits_{i=2}^{7}x_i*\frac{1}{8}+8*\frac{2}{8}=5,375$$
$$V(X)=\frac{1}{7}\sum \limits_{i=2}^{8}(x_i-E(X))^2=\frac{1}{7}\sum \limits_{i=2}^{8}(x_i-5.375)^2=4,141$$
3) Für innerhalb der Vierergruppen
D3 - Lampe Defekt
-D3 - Lampe nicht defekt
Erstmal gilt auch hier nun wieder: X>1, da im besten Fall direkt bei der Untersuchung der ersten Vierergruppe die "defekte Vierergruppe" erfasst wird (aber dann trd. noch weiter gesucht werden muss).
Innerhalb der ermittelten Vierergruppe hast du jetzt jeweils eine Wahrscheinlichkeit von $$P(D_3)=\frac{1}{4}$$ die defekte Lampe zu erwischen (sind ja jeweils nur noch 4 Lampen übrig).
Nun musst du beachten, dass die Wahrscheinlichkeiten für das Erwischen der "defekten Vierergruppe" auch mit einberechnet werden müssen (bei den Achtergruppen hattest du sicher nach 1 Versuch die defekte Gruppe raus):
E1 - Erfolg bei 1. Versuch
-E1 - kein Erfolg bei 1. Versuch
E2 - Erfolg bei 2. Versuch
-E2 - kein Erfolg bei 2. Versuch
E3 - Erfolg bei 3. Versuch
-E3 - kein Erfolg bei 3. Versuch
E1 - Insgesamt Erfolg nach 1. Versuch
E2 - Insgesamt Erfolg nach 2. Versuch
E3 - Insgesamt Erfolg nach 3. Versuch
(E4 fällt weg, da spätestens nach 3. Versuch und negativem Resultat für die 3. untersuchte Vierergruppe feststeht, dass die defekte Lampe in der letzten 4. Gruppe sein muss)
$$P(E_1)=\frac{1}{4}=P(E1)$$
$$P(-E_1∧E_2)=\frac{1}{4}=P(E2)$$
(gilt zu beachten für X>2)
$$P(-E_1∧-E_2∧E_3)=\frac{1}{2}=P(E3)$$
(gilt zu beachten für X>3)
Somit gilt (-D3, -D3, -D3, D3 fällt weg, da nach dem 3. fehlgeschlagenen Test in der Vierergruppe die letzte Lampe definitiv defekt ist):
$$P(X=2)=P(E1∧D_3)=P(E1)*P(D_3)=\frac{1}{4}*\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$$
$$P(X=3)=P(E1∧-D_3,D_3)∨P(E2∧D_3)=P(E1∧-D_3,D_3)+P(E2∧D_3)=(\frac{1}{4}*\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}*\frac{1}{4})=\frac{2}{16}$$
$$P(X=4)=P(E1∧-D_3,-D_3,D_3)∨P(E2∧-D_3,D_3)∨P(E3∧D_3)=P(E1∧-D_3,-D_3,D_3)+P(E2∧-D_3,D_3)+P(E3∧D_3)=(\frac{1}{4}*\frac{2}{4})+(\frac{1}{4}*\frac{1}{4})+(\frac{2}{4}*\frac{1}{4})=\frac{5}{16}$$
$$P(X=5)=P(E2∧-D_3,-D_3,D_3)∨P(E3∧-D_3,D_3)=P(E2∧-D_3,-D_3,D_3)+P(E3∧-D_3,D_3)=(\frac{1}{4}*\frac{2}{4})+(\frac{2}{4}*\frac{1}{4})=\frac{4}{16}$$
$$P(X=6)=P(E3∧-D_3,-D_3,D_3)=(\frac{2}{4}*\frac{2}{4})=\frac{4}{16}$$
$$E(X)=2*\frac{1}{16}+3*\frac{2}{16}+4*\frac{5}{16}+5*\frac{4}{16}+6*\frac{4}{16}=4,5$$
$$V(X)=\frac{1}{5}*((2-4,5)^2+(3-4,5)^2+(4-4,5)^2+(5-4,5)^2+(6-4,5)^2)=2,25$$
Aus den ermittelten Erwartungswerten und Varianzen lässt sich logisch ableiten, dass 3) die effektivste Möglichkeit der Untersuchung der Lampen ist, da der Erwartungswert der nötigen Tests am niedrigsten, und die Varianz (Maß für Abweichung vom Erwartungswert) ebenfalls sehr niedrig ist.
