Den Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks bestimmen.

Question

Brauche eure Hilfe bei einer Aufgabe. Bitte dann mit Rechenweg usw, also gut erklärt :)

Ich bedanke mich schon mal im voraus!

Die Aufgabe:

Bestimme den Schnittpunkt S der Diagonalen des Vierecks mit den Eckpunkten:

a) A (2|1), B (7|2), C (7|6), D (4|5)

Answer 1

Diagonale d₁:

$$d_1: \vec{x_1}=\vec{OA}+r*\vec{AC}=\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}, r∈R$$

Diagonale d₂:

$$d_2:\vec{x_2}=\vec{OB}+s*\vec{BD}=\begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -3\\3 \end{pmatrix}, s∈R $$

Gleichsetzen der Geradengleichungen:

$$\vec{x_1}=\vec{x_2}$$

$$\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -3\\3 \end{pmatrix}$$

$$r*\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}-s*\begin{pmatrix} -3\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$$

Gleichungssystem:

$$5r+3s=5$$

$$5r-3s=1$$

Addieren führt zu:

$$10r=6$$

$$r=\frac{3}{5}$$

Einsetzen in d₁:

$$\vec{OS}=\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}+\frac{3}{5}*\begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}$$

Somit folgt S(5|4).

Comments

Jetzt bin ich mal etwas pingelig. :-)

Die Diagonalen sind die Strecken im Viereck, nicht die Geraden.

Statt \(r \in \mathbb{R}\) müsste \(0\le r \le 1\) da stehen, für s ebenfalls.

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Das stimmt allerdings. Danke für die Verbesserung :-)

Answer 2

hast Du Dir schon mal eine Zeichnung gemacht?

Da kann man die Koordinaten für \(S\) ablesen. Es ist \(S=(5|\,4)\). Rechnen kann man das mit Vektoren; dann ist die Gerade \(e\) durch die Punkte \(A\) und \(C\):$$e: \space x = A + r(C-A) = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \left(  \begin{pmatrix}7  \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \\ \quad = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}  + r \begin{pmatrix}5 \\ 5 \end{pmatrix} $$und die Gerade \(f\) durch \(B\) und \(D\) ist $$f: \space x = B + S(D-B) = \begin{pmatrix}7 \\ 2 \end{pmatrix} + S \left(  \begin{pmatrix}4  \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \\ \quad = \begin{pmatrix}7 \\ 2 \end{pmatrix}  + s \begin{pmatrix}-3 \\ 3 \end{pmatrix} $$Gleichsetzen der beiden Gleichungen gibt$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}  + r \begin{pmatrix}5 \\ 5 \end{pmatrix}  &= \begin{pmatrix}7 \\ 2 \end{pmatrix}  + s \begin{pmatrix}-3 \\ 3 \end{pmatrix} \\ r \begin{pmatrix}5 \\ 5 \end{pmatrix}  + s \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Die Lösung erhält man z.B. indem man die y-Werte von den x-Werten abzieht:$$6 s = 4 \implies s = \frac 23$$Einsetzen in die Gleichung für \(f\) gibt dann$$f\left( s=\frac 23 \right) = \begin{pmatrix}7 \\ 2 \end{pmatrix}  + \frac 23 \begin{pmatrix}-3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} $$Gruß Werner