Antwort mit KI erzeugt
Lösung des linearen Gleichungssystems
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:
\(
\begin{aligned}
x+y & =0 \\
\epsilon x+y & =1
\end{aligned}
\)
a) Bestimmen Sie die Lösung für \( \epsilon=0 \).
Für \( \epsilon=0 \) wird das System zu:
\(
\begin{aligned}
x+y & =0 \\
0x+y & =1
\end{aligned}
\)
Aus der zweiten Gleichung folgt direkt \( y=1 \). Setzt man diesen Wert in die erste Gleichung ein, erhält man \( x+1=0 \), woraus folgt, dass \( x=-1 \).
Also ist die Lösung für \( \epsilon=0 \) gegeben durch \( x=-1 \) und \( y=1 \).
b) Wählen Sie \( \epsilon=10^{-3} \). Berechnen Sie die Lösung mit dem Gaussschen Eliminationsverfahren unter Verwendung des Pivotelements \( a_{11}=1 \), indem Sie in jedem Schritt auf 3 Dezimalstellen nach dem Komma entweder runden oder ohne zu Runden abschneiden.
Mit \( \epsilon=10^{-3} \) lautet das System:
\(
\begin{aligned}
x+y & =0 \\
0.001x+y & =1
\end{aligned}
\)
Dieses System wird mit dem Gaussschen Eliminationsverfahren und \( a_{11}=1 \) als Pivotelement gelöst. Wir subtrahieren das \( \epsilon \)-fache der ersten Zeile von der zweiten, um die \( x \)-Komponente zu eliminieren:
\(
\begin{aligned}
x+y & =0 \\
0+0.999y & =1
\end{aligned}
\)
Bei exakter Rechnung wäre \( y=\frac{1}{0.999} \). Rundet oder schneidet man allerdings auf 3 Dezimalstellen, ändert sich das Ergebnis minimal:
- Ohne Rundung: \( y \approx 1.000 \)
- Mit Rundung: \( y \approx 1.000 \)
Rückwärts eingesetzt, um \( x \) zu berechnen:
- \( x = -y \)
- Ohne Rundung bzw. mit Rundung ergibt dasselbe Ergebnis \( x \approx -1.000 \)
c) Wie b), aber verwenden Sie diesmal \( a_{21}=\epsilon \) als Pivotelement.
In diesem Fall würde man versuchen, das Gleichungssystem so umzuformen, dass \( \epsilon \) als Pivotelement verwendet wird. Jedoch ist bei derart kleinen Werten von \( \epsilon \) die numerische Stabilität sehr gefährdet, da Rundungsfehler stark ins Gewicht fallen können.
Das Vorgehen wäre theoretisch vergleichbar, allerdings mit dem Versuch, zuerst die \( x \)-Komponente in der oberen Zeile zu eliminieren, was wegen des geringen Wertes von \( \epsilon \) als Pivotelement nicht empfohlen wird, da dies die Rundungsfehler und die Instabilität des Verfahrens erhöht. Daher ist die Methode mit \( \epsilon \) als Pivotelement tendenziell weniger robust und zuverlässig als die Verwendung von \( a_{11}=1 \).
Welche Methode ist zu empfehlen?
Die Verwendung von \( a_{11}=1 \) als Pivotelement (Teil b) dieser Aufgabe) ist zu empfehlen. Da größere Pivotelemente zur Minimierung des Einflusses von Rundungsfehlern beitragen, führt dies zu einer stabileren Lösung, insbesondere bei Gleichungssystemen mit kleinen oder nahe null liegenden Koeffizienten.
Skizzieren der Geraden und Begründung der Robustheit:
Die beiden Gleichungen \( x+y=0 \) und \( 0.001x+y=1 \) repräsentieren Geraden in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem. Die erste Gerade ist eine fallende Gerade mit einem Schnittpunkt bei \( y=-x \). Die zweite Gerade ist sehr ähnlich, tendiert aber dazu, bei nahezu jedem \( x \) außer für sehr große \( |x| \)-Werte über der ersten Geraden zu liegen.
Wählt man \( \epsilon=0 \) als Pivotelement, wird die numerische Stabilität aufgrund des geringen Einflusses von Rundungsfehlern beim Startpunkt (\( a_{11}=1 \)) erhöht, wodurch die resultierende Lösung genauer ist. Das zeigt, warum diese Methode robuster ist: Größere Pivotelemente minimieren den Einfluss von Rundungsfehlern.
