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Pivot Spalten/Variablen
Pivotspalten bzw. Pivotvariablen sind Schlüsselelemente in Matrizen, die besonders in der linearen Algebra und bei der Lösung linearer Gleichungssysteme eine Rolle spielen. Ein Pivot, auch als Drehpunkt bezeichnet, ist das erste von null verschiedene Element in einer Zeile einer Matrix, die in Zeilenstufenform (ZSF) oder reduzierter Zeilenstufenform (auch bekannt als Staffelform) vorliegt. Dieses Element wird verwendet, um alle anderen Einträge in seiner Spalte zu nullifizieren, indem man geeignete Vielfache seiner Zeile von den anderen Zeilen subtrahiert.
In einem linearen Gleichungssystem korrespondieren die Pivotspalten mit den Basisvariablen, d.h., den Variablen, die als "unabhängig" angesehen werden und um die das System organisiert wird. Die Nicht-Pivotspalten (dort, wo keine Pivots stehen) entsprechen den frei wählbaren Variablen, die in parametrische Form für die Lösungsmenge verwendet werden können.
Unterschied zwischen Staffelform und Zeilenstufenform
Die Unterscheidung zwischen Staffelform und Zeilenstufenform (ZSF) ist wichtig im Kontext des Lösen von linearen Gleichungssystemen.
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Zeilenstufenform (ZSF): Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn sie folgenden Kriterien entspricht:
1. Alle Nullzeilen (Zeilen, die vollständig aus Nullen bestehen) stehen am unteren Ende der Matrix.
2. Der sogenannte Leitkoeffizient (oder Pivot) jeder Zeile, also das erste von null verschiedene Element, liegt in einer Spalte rechts von dem Leitkoeffizienten der darüberliegenden Zeile.
3. Unterhalb jedes Leitkoeffizienten stehen nur Nullen.
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Staffelform (Reduzierte Zeilenstufenform): Eine Matrix ist in reduzierter Zeilenstufenform (RZSF), auch Staffelform genannt, wenn sie alle Bedingungen der ZSF erfüllt und zusätzlich:
1. Jeder Leitkoeffizient ist 1 (dies wird durch Teilen der gesamten Zeile durch den Wert des Leitkoeffizienten erreicht).
2. Der Leitkoeffizient ist das einzige nicht-null Element in seiner Spalte, das bedeutet, dass nicht nur unterhalb, sondern auch oberhalb des Leitkoeffizienten nur Nullen stehen.
Die Staffelform ist also eine spezielle Form der Zeilenstufenform, die weitergehende Anforderungen stellt. Sie macht ein Gleichungssystem noch leichter lesbar und erleichtert das Finden der Lösungen, da jede Pivotspalte nur ein führendes 1-Element enthält und die restlichen Elemente in dieser Spalte null sind. Dadurch wird direkt ersichtlich, welche Variablen als Basisvariablen (abhängige Variablen) betrachtet werden können und wie diese in Bezug auf die freien (unabhängigen) Variablen stehen.
