ich versuche gerade lineare Abbildungen besser zu verstehen.
Es ist eine Matrix \(A \in M(m\times n;K)\) in Zeilenstufenform gegeben und eine Abbildung \(A: K^n \rightarrow K^m\).
\(j_1, ..., j_r\) sind die Indizes der Pivotspalten und \(e_{j_1}, ..., e_{j_r} \) die zu diesen Indizes gehörigen Basisvektoren des \(K^n\), so sind die Bilder \( A(e_{j_1}), ...,A(e_{j_r}) \in K^m \) (das sind die Pivotspalten) eine Basis von \(Im(A) = span (e_1', ..., e_r')\). Dabei ist mit \((e_1',...,e_r')\) die kanonische Basis des \(K^r\) bezeichnet.
Jetzt habe ich mir ein Beispiel konstruiert um die Theorie besser zu verstehen. \(A: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3\)
A =
Zeile1: 0 3 5 8
Zeile2: 0 0 2 7
Zeile3: 0 0 0 0
\(e_{j_1}, ..., e_{j_r} \) sind \( (0,1,0,0)\) und \( (0,0,1,0)\). \((e_1', ..., e_r')\) sind \( (1,0)\) und \( (0,1) \).
Meine Frage ist, wie soll das funktionieren? Das Bild von \(A\) ist in meinem Beispiel zwei Dimensional, wenn ich aber ein \(a \in \mathbb{R}^4\) nehme, dann bekomme ich \(A(a) \in \mathbb{R}^3\) raus und \(A(a) \) kann ich doch nicht mit \((1,0), (0,1) \) kombinieren. Verstehe ich das falsch?
