a) Es geht um das Werfen eines Würfels.
Wie du weißt, kann bei einem (LaPlace-)Würfel jede der 6 Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von
$$p=\frac{1}{6}$$
fallen.
X - Geworfene Augenzahl
$$X=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$$
$$P(X=1)=\frac{1}{6}$$
$$P(X=2)=\frac{1}{6}$$
...
$$P(X=6)=\frac{1}{6}$$
Erwartungswert:
$$E(X)=u=\sum \limits_{i=1}^{6}x_i*P(X=x_i)=1*\frac{1}{6}+2*\frac{1}{6}+...+6*\frac{1}{6}=3,5$$
Standardabweichung:
$$o=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=1}^{6}(x_i-u)^2}{6}}≈ 1,708$$
b) Es geht um das Werfen von 2 Würfeln.
Es gibt 36 Mögliche Würfelergebnisse (1-1,1-2,1-3,...,6-6), alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit von $$p_2=\frac{1}{36}$$
gewürfelt zu werden.
Y - Augensumme
$$Y=\left\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\right\}$$
$$P(Y=2)=P(1-1)=\frac{1}{36}$$
$$P(Y=3)=P(1-2,2-1)=\frac{2}{36}$$
$$P(Y=4)=P(1-3,3-1,2-2)=\frac{3}{36}$$
$$P(Y=5)=P(1-4,4-1,2-3,3-2)=\frac{4}{36}$$
$$P(Y=6)=P(1-5,5-1,2-4,4-2,3-3)=\frac{5}{36}$$
$$P(Y=7)=P(1-6,6-1,2-5,5-2,3-4,4-3)=\frac{6}{36}$$
$$P(Y=8)=P(2-6,6-2,3-5,5-3,4-4)=\frac{5}{36}$$
$$P(Y=9)=P(3-6,6-3,4-5,5-4)=\frac{4}{36}$$
$$P(Y=10)=P(4-6,6-4,5-5)=\frac{3}{36}$$
$$P(Y=11)=P(5-6,6-5)=\frac{2}{36}$$
$$P(Y=12)=P(6-6)=\frac{1}{36}$$
$$u_2=E(Y)=\sum \limits_{i=2}^{12}y_i*P(Y=y_i)=7$$
Ansonsten auch logisch, da bei Y=7 die höchste Wahrscheinlichkeit besteht, gewürfelt zu werden (zudem Wahrscheinlichkeitsverteilung symmetrisch um diesen Wert).
$$o_2=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=2}^{12}(y_i-u_2)^2}{11}}=\sqrt{10}≈ 3,162$$
c) Es geht um das Werfen von 3 Münzen.
Z - Anzahl der gefallenen "Bilder" (also wie oft Kopf gefallen ist)
$$Z=\left\{0,1,2,3\right\}$$
Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl jeweils pro Münze:
$$p_3=\frac{1}{2}$$
$$P(Z=0)=P(Zahl,Zahl,Zahl)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$
$$P(Z=1)=P(Zahl,Zahl,Kopf)+P(Zahl,Kopf,Zahl)+P(Kopf,Zahl,Zahl)=3*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$$
$$P(Z=2)=P(Zahl,Kopf,Kopf)+P(Kopf,Zahl,Kopf)+P(Kopf,Kopf,Zahl)=3*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$$
$$P(Z=3)=P(Kopf,Kopf,Kopf)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$
$$u_3=E(Z)=\sum \limits_{i=0}^{3}z_i*P(Y=z_i)=1,5$$
Wieder logisch, da symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um die Mitte zwischen Z=1 und Z=2.
$$o_3=\sqrt{\frac{\sum \limits_{i=0}^{3}(z_i-u_3)^2}{4}}≈ 1,118$$
