Interpretation der Standardabweichung und Eindeutigkeit der k-Sigma-Regeln

Question

Liebe Lounge,

ich habe zwei Fragen zum Thema Standardabweichung und Sigma-Regeln.

Dazu ein Beispiel:

Eine faire Münze wird 100mal  geworfen. X sei die Anzahl an Kopfwürfen.

Erste Frage:

Jetzt ist der Erwartungswert für mich recht intuitiv deutbar. Wenn man der Versuch (100 Würfe) sehr häufig wiederholt, wird sich im Mittel eine Trefferanzahl von 50 Treffern ergeben.

Die Standardabweichung ist 5. Diese Zahl kann ich jetzt nur weniger deuten als den Erwartungswert. Klar ist, dieser Wert ist ein Maß für die Streuung um den Mittelwert. Aber was soll einem dieser Wert jetzt im Detail sagen? Und noch vielmehr: Ist es ein großer Wert gemessen an 100 Versuchen? Woran kann man das fest machen?

Zweite Frage:

Die k-Sigma-Regeln besagen ja, dass (wenn Laplace Regel erfüllt ist)

P( X liegt zwischen Erwartungswert - Sigma und Erwartungswert + Sigma) rund 68%.

Wenn jetzt mit einer W-keit von ca 68% angegeben werden soll, wie viele Treffer man erwarten kann, dann könnte man natürlich das obige Intervall angeben. Das wäre dann das Intervall, symmetrisch zum Erwartungswert.

Aber prinzipiell könnte man doch auch ein Intervall finden, sodass P(X größer/gleich 0 und kleiner gleich a) rund 68%, z.B. it der Tabelle.

Woher weiß man, dass das Intervall gesucht ist, dass symmetrisch um den Erwartungswert liegt?

Vielen Dank!

LG

Kombinatrix

Answer 1

Sei P(p₁ | p₂ | p₃) ein Punkt im dreidimensionalen Raum.

Gesucht ist ein Punkt Q(q₁ | q₂ | q₃) mit

        q₁ + q₂ + q₃ = p₁ + p₂ + p₃

        q₁ = q₂ = q₃

so dass der Abstand zwischen P und Q möglichst klein ist.

Lösung: Q hat als Koordinaten das arithmetische Mittel der Werte p₁, p₂ und p₃. Der Abstand zwischen P und Q ist die empirische Standardabweichung der Werte p₁, p₂ und p₃.

Wenn man der Versuch (100 Würfe) sehr häufig wiederholt

Sagen wir mal, der Versuch wird m mal wiederholt. Die m Häufigkeiten für Kopf kann man als Punkt P im m-dimensionalen Raum auffassen. Der entsprechende Punkt Q hat als Koordinaten das arithmetische Mittel der Häufigkeiten. Der Abstand zwischen Punkt P und Q ist die empirische Standardabweichung der Häufigkeiten.

Für m→∞ konvergiert das arithmetische Mittel gegen den Erwartungswert n·p und die empirische Standardabweichung gegen die Standardabweichung √(n·p·(1-p)).

Woher weiß man, dass das Intervall gesucht ist, dass symmetrisch um den Erwartungswert liegt?

Es ist immer das Intervall gesucht, das symmetrisch um den Erwartungswert liegt; außer es steht etwas gegenteiliges in der Aufgabenstellung.

Ist es ein großer Wert gemessen an 100 Versuchen?

Umgekehrt wird ein Schuh draus. Ich habe 85 mal Kopf geworfen. Ist das ungewöhnlich oder eher nicht?

Um Standardabweichungen zu vergleichen, benötigt man unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zu jedem Erwartungswert und jeder Standardabweichung gibt es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit diesen Werten (z.B. eine geignete Normalverteilung). Deshalb ist es recht zwecklos, zu beurteilen ob 5 viel ist oder nicht.

Es gibt aber den Variationskoeffizienten \(\frac{\sigma}{\mu}\). Den könnte man mal bei der Binomialverteilung auf sein Verhalten für n→∞ untersuchen.