a) Es werden 3 Würfel geworfen.
X - Gewinn von A in Euro
$$X=\left\{-3,-2,-1,1\right\}$$
(Dabei -3€ für 3 Sechsen, -2€ für 2 Sechsen, -1€ für 1 Sechs, 1€ für keine Sechs)
$$P(X=-1)=[P(1,1,6)+...+P(5,5,6)]+[P(1,6,1)+...+P(5,6,5)]+[P(6,1,1)+...+P(6,5,5)]=3*\frac{5*5}{216}=\frac{75}{216}$$
$$P(X=-2)=[P(1,6,6)+...+P(5,6,6)]+[P(6,1,6)+...+P(6,5,6)]+[P(6,6,1)+...+P(6,6,5)]=3*\frac{5}{216}=\frac{15}{216}$$
$$P(X=-3)=P(6,6,6)=\frac{1}{216}$$
$$P(X=1)=1-P(X=-1)-P(X=-2)-P(X=-3)=1-\frac{91}{216}=\frac{125}{216}=(\frac{5}{6})^3$$
Erwartungswert:
$$E(X)=\sum \limits_{i=-3}^{-1}x_i*P(X=x_i)+1*P(X=1)=-3*\frac{1}{216}-2*\frac{15}{216}-1*\frac{75}{216}+1*\frac{125}{216}=\frac{17}{216}$$
Für Spieler B dann logischerweise mit negativem Vorzeichen.
b) Wahrscheinlichkeiten für die Würfe der Sechsen bleiben die gleichen. Was sich jetzt ändert ist x4=1 (Zahlung von 1€ von B an A für keine Sechs) zu einem anderen Wert n, sodass E(X)=0.
Somit:
$$E(X)=\sum \limits_{i=-3}^{-1}x_i*P(X=x_i)+n*P(X=n)$$
$$E(X)=-\frac{108}{216}+n*P(X=n)=-\frac{1}{2}+n*\frac{125}{216}=0$$
$$n*\frac{125}{216}=\frac{1}{2}$$
$$n=0,864$$
Das bedeutet, B sollte Spieler A ca. 86 Cent zahlen bei keiner Sechs, damit das Spiel für beide fair ist.