Folgen, Konvergenz, Konvergenzbeweise

Question

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge

\( x_{1}=1, \quad x_{n+1}=\frac{x_{n}}{x_{n}+2} \quad n=1,2,3,4, \ldots \)

Zeigen Sie folgende Aussagen:

1. Die Folgenglieder sind alle positiv.

2. Die Folge ist monoton fallend.

Folgern Sie daraus, dass die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Answer 1

Deine Folge konvergiert gegen Null. Da du x_n geteilt durch x_n+2 hast. (Dein Nenner wird immer größer dem Zähler sein.) Um das zu beweisen darf da aber nicht stehen unendlich/unendlich. Wir formen also folgendermaßen um:

(x_n)/((x_n)+2).         | :x_n

1/(1+(2/x_n))

jetzt müsstest du sehn, das deine Folge immer kleiner wird, da dein Nenner unendlich klein wird, dein Zähler aber nicht unendlich groß.
Mich hoffe ich könnte dir ein bisschen weiter helfen. Bin mir auch nicht sicher ob das stimmt

Grüße Macro