Matrixdarstellung bzgl kanonischer Basis und prüfen ob f ein Isomorphismus ist

Question

Aufgabe:

φ:ℝ³→ℝ3 mit (x₁,x₂,x₃)^T ↦ $$\begin{pmatrix} x_{1} + x_{3} \\2x_{2} +x_{3} \\ x_{1}-2x_{2}+2x_{3} \end{pmatrix}$$

Bestimmung der Matrixdarstellung $$A_{Ex_{3}}^{Ex_{3}}$$ von φ bzgl. der kanonischen Basis

Nachträgliche Fortsetzung:

Aufgabe:
f:ℝ^3→ℝ^3 mit (x1,x2,x3)^T ↦
$$\begin{pmatrix} x_{1}+x_{3} \\ 2x_{2}+x_{3}\\ x_{1}-2x_{2}+2x_{3} \end{pmatrix}$$

Prüfen ob f ein Isomorphismus ist

Problem/Ansatz:

Muss ich jetzt nur zeigen, dass f bijektiv und ein homomorphismus ist?

Comments

Matrixdarstellung ist dann $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

right?

Wie finde ich jetzt die Basis von Bild(φ) ?

Und überprüfe ob φ ein Isomorphismus ist?

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Vom Duplikat:

Titel: Prüfen ob f ein Isomorphismus ist?

Stichworte: isomorphismus,abbildung,lineare-algebra

Aufgabe:

f:ℝ→ℝ mit (x1,x2,x3)^T ↦

$$\begin{pmatrix} x_{1}+x_{3} \\ 2x_{2}+x_{3}\\ x_{1}-2x_{2}+2x_{3} \end{pmatrix}$$

Prüfen ob f ein Isomorphismus ist

Problem/Ansatz:

Muss ich jetzt nur zeigen, dass f bijektiv und ein homomorphismus ist?

Ursprüngliche Überschrift:

Isomorphismus von f zeigen

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Isomorphismus von f zeigen

Ersetzt, da das die Fragestellung im Textfeld nicht trifft. D.h. deine Frage war mehrdeutig.

f:ℝ→ℝ mit

Enthält Druckfehler.

Bitte erst mal die genaue Fragestellung angeben.

Ist das eine Nachfrage zu https://www.mathelounge.de/657628/matrixdarstellung-bzgl-kanonischer… ? Bitte Kommentare schreiben und keine Duplikate einstellen.

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sa es eine lineare Abb  R³-> R³ ist ist es ein Isomorphismus . was meinst due mit der Basis von φ?

lul

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meinte damit f:ℝ³→ℝ³

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also muss es nur eine lineare Abbildung sein damit es ein Isomorphismus ist?

Soll noch eine Basis von Bild(φ) finden. Steht genauso in meiner Aufgabe.

Answer 1

Hallo

 die Matrix hat als Spalten die Bilder der kanonischen Basisvektoren. nach Def wird z.B

(1,0,0) auf (1,0,1) abgebildet, also ist das die erste Spalte der Matrix. jetzt such die Bilder der 2 anderem Basisvektoren.

Gruß lul

Comments

Matrixdarstellung ist dann $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$

right?

Wie finde ich jetzt die Basis von Bild(φ) ?

Und überprüfe ob φ ein Isomorphismus ist?

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Ist das dann nicht schon die Basis?

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Fortsetzung inzwischen möglicherweise hier https://www.mathelounge.de/657653/prufen-ob-f-ein-isomorphismus-ist

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Hallo

 untersuche ob das Bild wieder ganz R³ ist, wenn ja, kannst du jede Basis für R³ als Basis nehmen. wenn es nur in R² ist ist es kein Isomorphismus, und du musst eine Basis bestimmen,

lul