Beweis von Injektivität und Surjektivität einer Abbildung

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { 2) Geben Sie für die jeweilige Funktion an, ob sie injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ist. }} \\ {\qquad f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}} & {\text {an }} \\ {x \mapsto x^{2}} & {g(x)=\left\{\begin{array}{c}{\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}} \\ {\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right) \mapsto 3 x-2 y+5}\end{array}\right.} & {h(x)=\left\{\begin{array}{l}{\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{+}} \\ {(y)}\end{array}\right]{\rightarrow} \sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\ {\text { (Lösung: } f(x) \text { ist bijektiv; } g(x) \text { ist surjektiv; } h(x) \text { ist surjektiv) }}\end{array}\right.}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

Komme grad bei der Injektivität von g(x) nicht zurecht.

3x₁-2x₂+5=3y₁-2y₂+5

würde nur argumentieren, dass keine weiteren Umformungen möglich sind und

x¹ z.B = y₁-2/3y₂+2/3x₂ und somit  y₁= x₁-2/3y₂+2/3x₂ und daraus folgt x1 ungleich y1

Answer 1

Komme grad bei der Injektivität von g(x) nicht zurecht.

g ist nicht injektiv, zum Beispiel g(2, 0) = g(0, -3).

Comments

will das formal nachweisen, ohne Beispiel deswegen ja.

Will es widerlegen ohne Gegenbeispiel

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will das formal nachweisen

Was ich aufgeschrieben habe ist hinreichend formal. Es gibt keinen Grund, auf ein Beispiel zu verzichten.

Allaussagen, also Aussagen der Form "Für alle x∈M gilt φ(x)" können nicht durch Angabe eines konkreten Wertes für x bewiesen werden. Beweise fangen deshalb meistens an mit: "Sei x ∈ M." Anschließend wird gezeigt, dass dann φ(x) gilt.

Existenzaussagen, also Aussagen der Form "Es gibt ein x∈M mit φ(x)" können durch Angabe eines konkreten Wertes für x bewiesen werden. Beweise fangen oft damit an, dass ein konkreter Wert x₀ für x gewählt wird. Anschließend wird gezeigt, dass dann φ(x₀) gilt. Wie man auf den geeigneten Wert für x gekommen ist, ist nicht Besandteil des Beweises.

Injektivität einer Funktion f von M nach N bedeutet:

        Für alle x₁, x₂ ∈ M mit x₁ ≠ x₂ gilt f(x₁) ≠ f(x₂).

Negiert man diese Aussage, dann bekommt man:

        Es gibt x₁, x₂ ∈ M mit x₁ ≠ x₂ und f(x₁) = f(x₂).

Das ist eine Existenzaussage, darf also bewiesen werden indem konkrete Werte für x₁ und x₂ angegeben werden.

Answer 2

Aloha :)

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge mindestens einmal als Funktionswert vorkommt. Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert vorkommt. Es ist z.B. \(f(-1)=f(1)\), \(g(2,0)=g(0,-3)\) oder \(h(1,0)=h(0,1)\). Daher ist keine der drei Funktionen injektiv. Aber sie sind zumindest alle drei surjektiv.