Question

Beweise (x^{-1})^n = (x^n)^{-1}, dabei ist n Element der ganzen Zahlen. Was ich nicht benutzen darf ist die Potenzregel (x^n)^m = x^{nm} für m < 0, da ich sie gerade Beweise.

Answer 1

Darfst du denn x ^{- 1} = 1 / x benutzen?

Dann:

( x ^{- 1} ) ⁿ = ( 1 / x ) ⁿ = 1 ⁿ / x ⁿ = 1 / x ⁿ = ( x ⁿ ) ^{- 1}

Comments

Ja, darf ich, aber wie kommst du auf (1/x)^n = 1^n / x^n?

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Nun, das ist ein Potenzgesetz.

Es gilt für alle ganzzahligen Exponenten n, sofern 1 / x definiert, also x ≠ 0 ist.

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JotEs, (1/x)^n = 1^n / x^n ist einfach nur eine andere Schreibweise für (x^-1)^n = (x^n)^{-1}. Du versuchst also etwas zu Beweis mit dem was Du erst beweisen muss. Deine Lösung ist deshalb, meiner Meinung nach, sinnlos. Wenn ich falsch bin, schreibe mir bitte den Beweis für (1/x)^n = 1^n / x^n, der würde mich sehr interessieren.

Answer 2

Sei  x ≠ 0. Es existiert ein multiplikatives Inverses Element  x^-1 von  x, d.h. es gilt  x·x^-1 = 1.
Es folgt  (x·x^-1)ⁿ = 1ⁿ ⇔ xⁿ·(x^-1)ⁿ = 1. Also ist  xⁿ das multiplikative Inverse von (x^-1)ⁿ, was bedeutet, dass  (xⁿ)^-1 = (x^-1)ⁿ  ist.