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Lineare Un-/Abhängigkeit und In-/homogene LGS
Um beide Teile der Aufgabe gründlich zu betrachten, müssen wir erst einmal verstehen, was lineare Unabhängigkeit (l.u.) und Abhängigkeit (l.a.) sowie homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme (LGS) bedeuten.
zu a) Lineare Un-/Abhängigkeit
Die Frage, ob Vektoren \(\mathbf{a_1} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{a_2} = (-1, 0, 2)\), \(\mathbf{a_3} = (7, 8, 9)\) linear unabhängig sind, läuft darauf hinaus, zu prüfen, ob es keine andere Möglichkeit gibt, den Nullvektor durch eine Linearkombination dieser Vektoren darzustellen, außer alle Koeffizienten \(x_1, x_2, x_3\) auf null zu setzen.
Ein LGS kann aufgestellt werden, indem man annimmt, dass:
\(x_1\mathbf{a_1} + x_2\mathbf{a_2} + x_3\mathbf{a_3} = \mathbf{0}\)
Das führt zu:
\(1x_1 - 1x_2 + 7x_3 = 0\)
\(2x_1 + 0x_2 + 8x_3 = 0\)
\(3x_1 + 2x_2 + 9x_3 = 0\)
Wenn wir dieses System mit dem Gauß-Verfahren lösen:
1. Erste Zeile bleibt unverändert.
2. Zweite Zeile kann durch \(2 \times \text{Zeile 1} - \text{Zeile 2}\) ersetzt werden, um die Koeffizienten zu eliminieren.
3. Ähnlich für die dritte Zeile.
Dies führt zu einem System, bei dem die dritte Gleichung entweder eine triviale Gleichung (\(0=0\)) oder eine Gleichung wird, die auf inkonsistente Koeffizienten hinweist. Wenn ein System in eine Form gebracht werden kann, in der alle Gleichungen außer möglicherweise eine trivial sind (und die letzte Gleichung \(0=0\) lautet), bedeutet dies, dass es unendlich viele Lösungen gibt, die von einem oder mehreren Parametern abhängen. In solch einem Fall sind die Vektoren linear abhängig, da es möglich ist, einen Vektor durch eine Linearkombination der anderen darzustellen.
Die fehlerhafte Darstellung im "Ansatz/Problem"-Abschnitt deutet jedoch darauf hin, dass es einen Missverständnis gibt. Die korrekte Anwendung des Gauß-Verfahrens führt dazu zu ermitteln, ob die ursprüngliche Annahme ("Mein Lehrer allerdings kam zum Ergebnis") auf einem Irrtum beruht oder nicht. Ohne die genauen Schritte ist es schwer zu sagen, ob die Vektoren l.u. oder l.a. sind, aber die Logik basiert auf der Lösungsmenge des LGS.
zu b) Darstellung von \(\mathbf{b}\) und Lösungsmenge
Das LGS, um \(\mathbf{b} = (-6, -4, 2)\) als Linearkombination von \(\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \mathbf{a_3}\) darzustellen, lautet:
\(x_1\mathbf{a_1} + x_2\mathbf{a_2} + x_3\mathbf{a_3} = \mathbf{b}\)
Nach der Aufstellung des LGS und Anwendung des Gauß-Verfahrens kommt man auf eine reduzierte Zeilenstufenform, die darauf hindeutet, dass es unendlich viele Lösungen gibt, wenn die letzte Gleichung auf \(0 = 0\) reduziert wurde.
Die Annahme, \(x_3 = t\), dient dazu, die Lösungen in Abhängigkeit von einem freien Parameter \(t\) zu beschreiben. Deshalb können die Lösungen als Vektor in Abhängigkeit von \(t\) dargestellt werden, was zu einer parametrischen Form der Lösungsmenge führt:
\(\mathbf{x} = \mathbf{x_0} + t\mathbf{d}\)
Hier, \(\mathbf{x_0}\) ist eine spezifische Lösung des inhomogenen Systems und \(\mathbf{d}\) ist ein Richtungsvektor, der die Abhängigkeit von \(t\) zeigt und aus dem homogenen System stammt. Alle möglichen Lösungen bilden daher eine Gerade im Raum, da sie von einem einzigen Parameter abhängen.
Dies zeigt den grundlegenden Unterschied zwischen homogenen und inhomogenen Systemen:
- Ein homogenes System hat immer zumindest die triviale Lösung (alle Variablen gleich null).
- Ein inhomogenes System kann keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen haben.
Die lineare Abhängigkeit kommt ins Spiel, wenn es möglich ist, einige der Gleichungen oder Vektoren durch eine Kombination der anderen auszudrücken, was auf unendlich viele Lösungen hindeutet.
