Erzeugendensystem von Vektoren, Lineare Un-,Abhängigkeit

Question

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Frage: Wie stelle ich fest , ob diese Vektoren zum einen linear un-/ abhängig sind und zum anderen ein Erzeugendensystem ℝ³ bilden oder doch eine Basis des ℝ³ bilden?

Comments

4 Vektoren in einem 3 dimensionalen Vekrorraum sind immer linear abhängig.

Der Span dieser Vektoren hat allerdings nur Dimension 2. Mit etwas Übung sieht man im Prinzip direkt dass Vektor 2 und 3 eine Linearkombination des 1. und 4. Vektors ist.

Answer 1

Der erst und der 4. addiert, ergeben das 0,5-fache

des 2.

Also sind diese 3 lin. abhängig und man den 2. für

die weitere Untersucheng weglassen.

Außerdem ergeben der 1. und  das (-2)-fache des

4. den dritten, also kann der auch weggelassen werden.

Damit hat man nur 2 linear unabhängige, die

können also den R^3 nicht erzeugen.

Z.B. \(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) lässt sich

damit nicht darstellen.

Die 4 Vektoren bilden also aus 2 Gründen keine

Basis von R^3:

Man kann mit ihnen nicht alle Elemente von R^3 erzeugen,

und sie sind linear abhängig.