Kompaktheit von Mengen erkennen

Question

Welche der folgenden Mengen sind kompakt?

1.{ \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)∈ℝ²:(x+y)²≤1}

2.{\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)∈ℝ²: x²+y²≤1}

3.{\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \)∈ℝ²: x²-y²≤1}

Woran lege ich das fest?

Answer 1

Alle drei Mengen sind abgeschlossen, da sie Urbildmengen

abgeschlossener Mengen unter stetigen Abbildungen sind.

Nach Heine-Borel ist nun nur noch zu prüfen,

ob die Menge beschränkt ist.

1. ist nicht beschränkt: zu jedem beliebig großen x,

gibt es ein y, so dass \((x+y)^2\leq 1\) ist. Nimm z.B.

\(y=-x\).

2. Ist natürlich per Definition beschränkt.

3. ist nicht beschränkt (siehe 1.)