Extrema hinsichtlich Lage und Größe untersuchen?

Question

Aufgabe:

Funktion f(x,y) = x^2 + \( \frac{1}{2} \) y^2 + \( \frac{1}{2} \) (y-x) - \( \frac{3}{2} \)

sei auf D_f  = {x,y)^T ∈ ℝ^2 | |x| ≤ 1 ∧ |y| ≤ 1 }

Bestimme Sie Lage und Größe der absoluten Extrema von f.

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man diese?

Comments

Macht ihr eventuell gerade "Lagrange" oder beschäftigt ihr euch mit Ellipsen?

Beides liefert Lösungsansätze, ebenso die Verwendung des Gradienten.

Answer 1

Hallo man bildet grad(f)=0 um relative max oder Min zu finden, dann ob sie innerhalb der Grenzen liegen, dann bestimmt man den Rand und vergleicht die Werte auf dem Rand

lul

Answer 2

Aloha :)

$$f(x;y)=x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{y-x}{2}-\frac32\quad;\quad |x|\le1\;;\;|y|\le1$$

Suche nach Randextrema

Das Aufwändige an dieser Aufgabe sind die vier Sonderfälle \(|x|=1\) und \(|y|=1\). Sie liefern uns eventuell Extrema am Rand des Definitionsbereichs, sog Randextrema. Schauen wir uns die vier Fälle einzeln an:

1. Fall: \(x=1\)$$f_1(y)=f(1;y)=1+\frac{y^2}{2}+\frac{y-1}{2}-\frac32=\frac{y^2}{2}+\frac y2-1$$$$f'_1(y)=y+\frac12\stackrel!=0\implies y=-\frac12\quad;\quad f''_1(y)=1\implies f''_1\left(-\frac12\right)>0\implies\text{Minimum}$$

Randminimum bei: \(\quad \underline{\underline{f(1;-\frac12)=-\frac98}}\)

2. Fall: \(x=-1\)$$f_2(y)=f(-1;y)=1+\frac{y^2}{2}+\frac{y+1}{2}-\frac32=\frac{y^2}{2}+\frac y2$$$$f'_2(y)=y+\frac12\stackrel!=0\implies y=-\frac12\quad;\quad f''_2(y)=1\implies f''_2\left(-\frac12\right)>0\implies\text{Minimum}$$

Randminimum bei: \(\quad \underline{\underline{f(-1;-\frac12)=-\frac18}}\)

3. Fall: \(y=1\)$$f_3(x)=f(x;1)=x^2+\frac12+\frac{1-x}{2}-\frac32=\frac{x^2}{2}-\frac x2-\frac12$$$$f'_3(x)=x-\frac12\stackrel!=0\implies x=\frac12\quad;\quad f''_3(x)=1\implies f''_3\left(\frac12\right)>0\implies\text{Minimum}$$

Randminimum bei: \(\quad \underline{\underline{f(\frac12;1)=-\frac12}}\)

4. Fall: \(y=-1\)$$f_4(x)=f(x;-1)=x^2+\frac12+\frac{-1-x}{2}-\frac32=\frac{x^2}{2}-\frac x2-\frac32$$$$f'_4(x)=x-\frac12\stackrel!=0\implies x=\frac12\quad;\quad f''_4(x)=1\implies f''_4\left(\frac12\right)>0\implies\text{Minimum}$$

Randminimum bei: \(\quad \underline{\underline{f(\frac12;-1)=-\frac32}}\)

Suche nach Extrema für \(|x|<1\) und \(|y|<1\)

Alle Punkte \((x;y)\), die nicht auf dem Rand liegen, können wir mit den Mitteln der Differentialrechnung untersuchen. Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2x-\frac12}{y+\frac12}\implies x=\frac14\;;\;y=-\frac12$$

Wir prüfen den Kandidaten mit der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{rr}2 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\implies\text{Eigenwerte: }2\text{ und }1>0\implies\text{positiv definit}$$Da die Hesse-Matrix positiv definit ist liegt ein lokales Minimum vor. Da die Hesse-Matrix gar nicht mehr von \(x\) und \(y\) abhängt, handelt es sich sogar um das globale Minimum.

Globales Minimum bei:\(\quad \underline{\underline{f(\frac14;-\frac12)=-\frac{27}{16}}}\)