Lage, lokale Extrema in Abhängigkeit vom Parameter λ∈R f_λ: R^2->R, f_λ(x, y):=x^3−y(y^2−3λx)

Question

Ich muss davon die Art und Lage der Extrema bestimmen.

f_λ : R² → R, f_λ(x, y) := x³ − y(y² − 3λx) 

$$f_\lambda (x,y)=x^3 − y^3 + 3λ \cdot xy$$

= x³ − y³ − 3λxy)

erstmal Ableiten aber wie? soll ich erst nach x dann nach y? der Parameter ist wie eine ganz normale Zahl , das weiß ich und auch y wird wie eine Zahl behandelt, wenn ich nach x Ableite?

Muss ich das also jeweils einzeln machen?

Wenn ja was für Fälle muss ich unterscheiden für λ?

mfg, 

danke im Voraus.

Comments

ich habe einfach mal alle möglichen Ableitungen bestimmt:
f_λ=x³ − y³ + 3λxy (-> habe grad gemerkt, dass ich oben nen Tippfehler gemacht hab)

f_λ'(y)=3y^2+λy

f_λ'(yy)=6y
f_λ'(yx)=3λ

f_λ'(x)=3x²+λy

f_λ'(xx)=6x
f_λ'(xy)=λ

Ok wie mache ich jetzt weiter?

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Ahso ok habe herausgefunden, dass ich noch die Hesse-Matrix bilden muss...

Nun ich könnte ja die Determinante bestimmen:

Det = (6x*6y)-3λ*λ

= 36xy-3λ²

bringt mir das was?

es gibt ja noch n weg die Eigenwerte zubestimmen:

=(6x-ξ)(6y-ξ)-3λ*λ

=6xy-6xξ-6yξ+ξ^2-3λ^2

Wie soll ich hier bitte die Eigenwerte rausbekommen?

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sry die Ableitungen von f_λ(y) stimmen nicht also nochmal:

f'_λ(y) = -3y^2+λx

f''_λ(yy) = -6y

f''_λ(yx) = λ

Die Hesse-Matrix ist somit:

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Vielleicht schaust Du nochmal kurz nach, wie man hier im Forum mathematische Zeichen lesbar eingibt. Wer so einen chaotischen Sauerkrautsalat hier reinspuckt, braucht sich nicht zu wundern, wenn der Thread von Selbstgesprächen dominiert wird.

Zunächst scheint es sich wohl um einen Teil einer Aufgabenstellung zu handeln, der uns nicht gezeigt wird. Möglicherweise hat also das Gestopsel hier schon Fehler und alles Weiterrechnen ist für den Ärmel.

Gehen wir davon aus, dass

$$f_\lambda (x,y)=x^3 − y^3 + 3λ \cdot xy$$

die Funktion sein soll, deren kritische Stellen zu ermitteln sind?

Bitte direkt Bescheid sagen, wenn ich dem nicht so sein sollte.

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jo stimmt.

"Vielleicht schaust Du nochmal kurz nach, wie man hier im Forum mathematische Zeichen lesbar eingibt"

was meinst du damit genau? meinst du im Titel? 

Diesmal ist meine Frage echt zu einem chaotischen Salat geworden... sry :)

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EDIT: Habe nun oben $$f_\lambda (x,y)=x^3 − y^3 + 3λ \cdot xy$$ ergänzt und deinen Term mit einer Klammer zu viel halb ausgeblendet.

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Hi  Knightfire, probier mal die Sachen mit Tex einzustellen, für Matrizen hast du hier eine Vorlage:

$$ \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

(Matrix rechts an klicken, dann auf zeige als mathematischen Ausdruck an -> Tex-Befehle )

Answer 1

Hi,

mit $$ f(x,y,\lambda) = x^3-y^3+3 \lambda  x y   $$ folgt
$$ (1) \quad f_x(x,y,\lambda) = 3 x^2 +3 \lambda y  $$
$$ (2) \quad f_y(x,y,\lambda) = -3 y^2 +3 \lambda x  $$
$$ (3) \quad f_\lambda(x,y,\lambda) = 3 x y  $$
$$ (4) \quad f_{xx} (x,y,\lambda) = 6x $$
$$ (5) \quad f_{yy} (x,y,\lambda) = -6y $$
$$ (6) \quad f_{xy} (x,y,\lambda) = 3 \lambda $$
Die Hesse Matrix lautet also
$$ H_f = \begin{pmatrix}  6x & 3\lambda \\ 3\lambda & -6y \end{pmatrix} $$
Gleichungen (1) - (3) müssen Null gesetzt werden und nach \( x, y, \lambda \) aufgelöst werden. Das sind die lokalen Extremwerte. Die Lösungen sind in die Hessematrix einzusetzten und dann muss bestimmt werden ob ein Maximum oder Minimum vorliegt. Dazu bestimmt man die Definitheit der Matrix.

Bei Deiner Rechnung sind einige Fehler drin, wie Du siehst.

Comments

So hab folgende Werte;

x=0

λ=0
y=0
Alles in die Hesse:
$$H_f = \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Det = 0;

-> Keine Aussage möglich?

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Was ist mit \( x = 0, y = 0, \lambda=1 \)

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Achso es gibt noch diese Möglichkeit

x1=0

x2=λ

mit den krit. Punkten

p1= (0,0)

p2= (λ,λ)

Hesse für p1:

$$H_f = \begin{pmatrix}  0 & 3\lambda \\ 3\lambda & 0 \end{pmatrix}$$

Det= (-3λ)(3λ)=0

-> Eigenwert1= -3λ
-> Eigenwert2= 3λ

Also da wir +- haben ist das hier ein Sattelpunkt

Hesse für p2:

$$H_f = \begin{pmatrix}  6\lambda & 3\lambda \\ 3\lambda & -6\lambda \end{pmatrix}$$

Det = 9λ^2-(-36λ^2) = 45λ^2

Ab hier komme ich nicht mehr weiter...

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Verstehe ich nicht. Wenn \( x = 0\) gilt, folgt auch \( y = 0 \) Nur \( \lambda \) kann beliebig sein. Damit ergibt sichh für die Hessematrix der Wert \( -9 \lambda^2 \)

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Meinst du 

"x1=0

x2=λ

mit den krit. Punkten

p1= (0,0)

p2= (λ,λ)"

x2 ist nicht y, es ist einfach nur der zweite Extrempunkt...

Das mit -9λ^2, kommt ja kurz danach... das hab ich nämlich auch raus bekommen und der Punkt (0, 0) ist ein Sattelpunkt.  

Also für den zweiten Teil... ich habe mal einen Kollegen gefragt ob er die Lösung hat:

ich hoffe man erkennt alles:

Der erste Teil, links ist für λ=0, das verstehe ich...

Rechts ist für λ≠0

Und der erste Teil mit der Hessematrix 

H_f = \begin{pmatrix}  0 & 3\lambda \\ 3\lambda & 0 \end{pmatrix}
ist ja gleich wie bei mir

Die zweite HesseMatrix ist aber anders als bei mir nämlich -6λ statt 6λ

wie kommt man drauf?

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Die Hessematrix Deines Kollegen ist falsch, die muss immer symmetrisch sein.

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Also er hat nur die Lösung von der Tutorin abfotografiert... aber ich hab ihr nun eine Mail geschrieben... mal schauen... 

Also du meinst so?

$$H_f = \begin{pmatrix}  6\lambda & 3\lambda \\ 3\lambda & -6\lambda \end{pmatrix}$$

oder wie meinst du das?

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Nein, schau auf meinen ersten Post. Und das Foto kann ich nur teilweise lesen.

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jo habs grad auch bemerkt. nachdem hochladen wird die Qualität schlechter... 

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Ja man kommt ja auf den 2. Krit. Punkt mit (λ, λ)

und das in 

$$H_f = \begin{pmatrix}  6x & 3\lambda \\ 3\lambda & -6y \end{pmatrix}$$

eingesetzt kommt 

$$H_f = \begin{pmatrix}  6\lambda & 3\lambda \\ 3\lambda & -6\lambda \end{pmatrix}$$ 

raus 

und davon die Determinante ist:

Det = 9λ^2-(-36λ^2) = 45λ^2 

Und nun müssen wir eine Fallunterscheidung machen:

Die Determinante ist > 0 für alle λ 

und wenn λ < 0 ist haben wir n MAXIMUM

und wenn λ > 0 ist, haben wir einen Minumum ...

richtig?

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Der Punkt \( x = y = \lambda \) ist kein kritischer Punkt. Setzt das doch mal ein.

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Schau die diese Links an

https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix
http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node144.html

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Also:

I : 3x^2 + 3λy = 0 -> y= -(x^2)/λ

II: 3λx - 3y^2   =0

y in  II: 

3λx-3((-x^2)/λ)^2 = 0

3λx-3(x^4/λ^2)    = 0

x(λ^3-x^3)           = 0

-> x₁=0, x₂= λ -> -λ

und diese beiden in die Ausgangsgleichung eingesetzt gibt unsere beiden krit. Punkte... oder was mach ich falsch?

EDIT: also sollte p₂(λ, -λ) sein sry... 

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Det = 36λ^2-9λ^2 = 27λ^2  

und wie gesagt:

Die Determinante ist > 0 für alle λ 

und wenn λ < 0 ist haben wir n Maximum

und wenn λ > 0 ist, haben wir einen Minimum ...

Ok ich denke die Frage ist geklärt.

DANKE SEHR! :)