Allgemeine Ebene mit Parameter: Wie verändert sich die Lage von E_b für b → 0 ?

Question

Allgemeine Ebene mit Parameter gegeben:

Ebene E_b : bx₁ + x₂ = b  ; b ε R

Wie verändert sich die Lage von E_b für b → 0 ?

Wie verändert sich die Lage von E_b für b --> +∞ ?

Bitte mit einer sauberen mathematischen Begründung. Das Ergebnis weiß ich, aber wie ist es korrekt begründet?

Answer 1

setzte doch die Werte für \(b\) ein. Für \(b=0\) erhält man $$x_2 = 0$$ Dies ist die ZX-Ebene. Und bevor wir \(\infty\) einsetzen, dividiere \(bx_1 + x_2 = b\) noch durch \(b\) - macht: $$\lim_{b \to \infty}\left( x_1 + \frac 1b x_2 = 1 \right) = \left( x_1 = 1\right)$$ Dies ist eine Ebene durch den Punkt \((1|0|0)\), die parallel zur YZ-Ebene verläuft. Alle Punkte \(p_z\) der Form $$p_z = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$$ liegen immer auf der Ebene - unabhängig vom Wert von \(b\). Und dies ist eine Gerade durch den Punkt \((1|0|0)\), die parallel zur Z-Achse verläuft.

Mit wachsendem \(b\) dreht sich die Ebene ausgehend von der ZX-Ebene um diese Gerade.

Comments

Also stimmt das?

Für b --> 0 gilt: E_b --> x2=0 oder muss ich das 'E_b' weglassen und stattdessen x2-->0 schreiben?

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Für b --> 0 gilt: E_b --> x₂=0

so ist es Ok.

Hier das ganze noch mal im Geoknecht 3D. Die grüne Ebene und der rote Normalenvektor steht für den Fall \(b=3\). Der blaue Vektor ist ein Normalenvektor von \(E_b\) für \(b=0\). Die grüne Strecke ist das \(b\). Umso größer das \(b\) wird, desto mehr dreht sich die Ebene um die schwarze Achse.

Answer 2

Für b-->0 wird die Ebene zur x1x2 Ebene

Comments

Für b-->0 wird die Ebene zur x1x2 Ebene

Du meinst x1x3 Ebene - oder?