Kantenlänge bestimmen eines Quaders?

Question

Aufgabe:

Person B will nach oben, offene, quaderförmige Behälter mit einem Fassungsvermögen von V = 4l = 4000 cm^3 herstellen. Dabei soll aus Kostengründen das benötigte Material und damit die Oberfläche minimiert werden.

Finden Sie die Kantenlänge des Behälters.

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie man die Kantenlänge bestimmt? Bin überfragt

Answer 1

NB:

V = a·b·c = 4000 --> c = 4000/(a·b)

HB:

O = a·b + 2·a·c + 2·b·c

O = a·b + 2·a·4000/(a·b) + 2·b·4000/(a·b)

O = a·b + 8000/a + 8000/b

Aus symmetrygründen könnte man jetzt a = b vermuten

O = a·a + 8000/a + 8000/a

O = a^2 + 16000/a

O' = 2·a - 16000/a^2 = 0 --> a = 20

Damit hätte ich

a = b = 20 cm

c = 4000/(20·20) = 10 cm

Das macht auch Sinn, denn füge ich 2 solcher Quader an den offenen Seitenflächen zusammen ergibt sich ein Würfel. Und wir wissen ein Würfel ist der Quader, der bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat. Und dieser halbe Würfel hat daher auch bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche.