Antwort mit KI erzeugt
Titel der Frage: Was ist die erste Ableitung von \( e^{-x} \)?
Aufgabe:
Was ist die erste Ableitung von \( e^{-x} \)?
Lösung:
Um die erste Ableitung der Funktion \( f(x) = e^{-x} \) zu finden, verwenden wir die Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen und die Kettenregel.
1.
Ableitung der Exponentialfunktion:
Die Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion \( e^{u(x)} \) lautet:
\( \frac{d}{dx}\left( e^{u(x)} \right) = e^{u(x)} \cdot u'(x) \)
2.
Identifizieren von \( u(x) \):
Hier ist \( u(x) = -x \).
3.
Berechnen der Ableitung von \( u(x) \):
\( u(x) = -x \)
\( u'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1 \)
4.
Anwenden der Kettenregel:
Kombinieren wir die Ergebnisse:
\( \frac{d}{dx}\left( e^{-x} \right) = e^{-x} \cdot (-1) \)
5.
Vereinfachung der Ableitung:
\( \frac{d}{dx}\left( e^{-x} \right) = -e^{-x} \)
Ergebnis:
Die erste Ableitung von \( e^{-x} \) ist:
\( f'(x) = -e^{-x} \)