Krümmungsverhalten von Temperaturverlauf mit f(t) = - 0,04t^3 + 1,31t^2-12,3t + 38,4

Question

Aufgabe:

Die Temperaturmessung einer Wetterstation kann zwischen 7-18 Uhr durch die Funktion f (t) = - 0,04t^3 + 1,31 t^2 - 12,3t + 38,4 angenähert werden, dabei gibt t die Zeit an.

a) bestimme die niedrigste und höchste Temperatur im Verlauf der Messung

b) bestimmen Sie, den Zeitpunkt in dem die Temperatur am stärksten ansteigt.

Problem/Ansatz

Es wäre wirklich hilfreich wenn jemand mir erklärt welche schritte ich machen muss, weil ich diese aufgabe mit erklärung und auflösung morgen abgeben muss :)

Answer 1

bestimme die niedrigste und höchste Temperatur im Verlauf der Messung

Hierzu musst du Minimum und Maximum der Funktion im Intervall von 7 bis 18 untersuchen. Weißt du, wie das geht?

b) bestimmen Sie, den Zeitpunkt an dem die Temperatur am stärksten ansteigt

Die Temperatur steigt am stärksten an, wenn die Ableitungsfunktion ihr Maximum annimmt.

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Comments

Also A habe ich gut verstanden aber B wie meinen sie das bitte? also was muss ich genau berechnen und vielen Dank

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Bei b) musst du den Wendepunkt der Funktion = Hochpunkt der Ableitungsfunktion bestimmen.

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Grafisch sieht das so aus:

Wie du siehst, liegt der Tiefpunkt außerhalb des Intervalls, also wählst du zur Bestimmung der minimalen Temperatur t = 7.

Answer 2

Hier die Antworten. Fülltext,

Answer 3

Aloha :

Da bisher noch keine Rechnung gepostet wurde, möchte ich noch kurz antworten. Gegeben ist die Funktion

$$f(t)=-0,04t^3+1,31t^2-12,3t+38,4$$$$f'(t)=-0,12t^2+2,62t-12,3$$$$f''(t)=-0,24t+2,62$$$$f'''(t)=-0,24$$Bei (a) sind die Extremstellen gesucht:$$f'(t)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;-0,12t^2+2,62t-12,3=0\;\;\Leftrightarrow\;\;t^2-\frac{655}{30}t+\frac{205}{2}=0$$$$t_{1,2}=\frac{655}{60}\pm\sqrt{\left(\frac{655}{60}\right)^2-\frac{205}{2}}\;\;\Leftrightarrow\;\;\underline{t_1=\frac{41}{6}\;;\;t_2=15}$$Wir prüfen auf Minimum bzw. Maximum:$$f''(t_1)=0,98>0\;\Rightarrow\;\text{Min!}\quad;\quad f''(t_2)=-0,98<0\;\Rightarrow\;\text{Max!}$$Die minimale und maximale Temperaturen sind schließlich:$$\underline{T_{min}=2,7566\quad;\quad T_{max}=13,65}$$

Bei (b) ist der Zeitpunkt des stärksten Anstiegs gesucht. Wir suchen also den Wendepunkt. Da \(f'''(t)\ne0\) brauchen wir also nur noch die Nullstelle der zweiten Ableitung zu finden:

$$f''(t)=0\;\;\Leftrightarrow\;\;-0,24t+2,62=0\;\;\Leftrightarrow\;\;t=\frac{-2,62}{-0,24}=\underline{\frac{655}{60}\approx10,9167}$$

Answer 4

So würde das von mir aussehen:

Die Temperaturmessung einer Wetterstation kann zwischen 7-18 Uhr durch die Funktion

f(t) = - 0.04·t^3 + 1.31·t^2 - 12.3·t + 38.4 angenähert werden, dabei gibt t die Zeit an.

a) Bestimme die niedrigste und höchste Temperatur im Verlauf der Messung.

f'(t) = - 0.12·t^2 + 2.62·t - 12.3 = 0 → t = 6.833 ∨ t = 15

f(7) = 2.77 Grad
f(15) = 13.65 Grad
f(18) = 8.16 Grad

Die niedrigste Temperatur betrug um 7 Uhr 2.77 Grad und die höchste betrug um 15 Uhr 13.65 Grad.

b) Bestimmen Sie, den Zeitpunkt in dem die Temperatur am stärksten ansteigt.

f''(t) = 2.62 - 0.24·t = 0 → t = 10.92 = 10:55 Uhr

Um 10:55 Uhr stieg die Temperatur am schnellsten an.