Antwort mit KI erzeugt
U1 ∩ U2
Um den Schnitt \(U1 \cap U2\) zu finden, müssen wir die Bedingungen suchen, unter denen ein Vektor gleichzeitig in \(U1\) und \(U2\) vorkommen kann. Wir setzen daher die Linearkombinationen von \(U1\) und \(U2\) gleich:
\(
a \cdot (1, 0, 1) + b \cdot (0, 1, -1) = c \cdot (1, 0, -1) + d \cdot (0, 1, 1)
\)
Das führt zu einem System linearer Gleichungen:
\(
\begin{aligned}
a + 0 \cdot b &= c + 0 \cdot d & (1) \\
0 \cdot a + b &= 0 \cdot c + d & (2) \\
a - b &= -c + d & (3)
\end{aligned}
\)
Man sieht, dass Gleichung (1) und (3) nicht gleichzeitig wahr sein können, es sei denn \(a = c\) und \(b = d\). Aber selbst dann, genügen \(a = c\) und \(b = -d\), um die erste Gleichung zu erfüllen, was hieße, dass jeder Vektor in sich selbst zu finden ist. Da die Richtungsvektoren der Unterräume orthogonal zueinander stehen, wird kein Vektor außer dem Nullvektor \( (0, 0, 0) \) in beiden Unterräumen liegen können. Daher ist der Schnitt der beiden Unterräume:
\(
U1 \cap U2 = \lbrace(0, 0, 0)\rbrace
\)
U1 + U2
Die Summe \(U1 + U2\) ist der Unterraum, der aus allen möglichen Summen von Vektoren aus \(U1\) und \(U2\) besteht.
Wir nehmen daher je einen Vektor aus \(U1\) und \(U2\) und addieren diese:
\(
(a \cdot (1, 0, 1) + b \cdot (0, 1, -1)) + (c \cdot (1, 0, -1) + d \cdot (0, 1, 1)) = (a+c, b+d, a-b+c+d)
\)
Jede Linearkombination von \((1,0,1)\), \((0,1,-1)\), \((1,0,-1)\), und \((0,1,1)\) kann eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) formen, da sie voneinander unabhängig sind und den ganzen Raum aufspannen können. Es ist jedoch offensichtlich, dass \( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \) durch eine Linearkombination der gegebenen Vektoren dargestellt werden kann, was bedeutet, dass \(U1 + U2 = \mathbb{R}^3\).
Komplement von U1 und U2
Ein Komplement \(U1^\prime\) zu \(U1\) in \(V\) ist ein Unterraum von \(V\), sodass \(U1 + U1^\prime = V\) und \(U1 \cap U1^\prime = \lbrace(0,0,0)\rbrace\). Ähnlich definiert man das Komplement \(U2^\prime\) zu \(U2\).
- Für \(U1\), da \(U1\) von den Vektoren \((1,0,1)\) und \((0,1,-1)\) aufgespannt wird, könnten wir einen Vektor finden, der orthogonal zu beiden ist, um ein Komplement zu bilden. Ein solcher Vektor könnte \((1,1,1)\) sein, da er nicht ausdrückbar als Linearkombination von \(U1\)'s Basisvektoren ist und \(\mathbb{R}^3\) aufspannt in Kombination mit \(U1\)'s Basis. So ist ein mögliches Komplement zu \(U1\) gegeben durch \(\langle(1,1,1)\rangle\).
- Ähnlich für \(U2\), das von den Vektoren \((1,0,-1)\) und \((0,1,1)\) aufgespannt wird, benötigen wir einen Vektor, der orthogonal zu diesen ist und zusammen den \(\mathbb{R}^3\) aufspannt. Ein solcher Vektor könnte \((-1,1,0)\) sein. Das Komplement zu \(U2\) wäre also \(\langle(-1,1,0)\rangle\).
Diese Komplemente erfüllen jeweils, zusammen mit ihren Ursprungsunterräumen, die Bedingung den ganzen Raum aufzuspannen und nur den Nullvektor gemeinsam zu haben.
Visualisierung im R³
- \(U1\) und \(U2\) können als Ebenen in \(\mathbb{R}^3\) visualisiert werden, die durch den Ursprung gehen, aber in unterschiedlichen Richtungen ausgerichtet sind.
- Der Schnitt \(U1 \cap U2\) ist einfach der Ursprung, da es keinen von null verschiedenen Vektor gibt, der in beiden Unterräumen liegt.
- Die Summe \(U1 + U2\) repräsentiert den ganzen Raum \(\mathbb{R}^3\).
- Die Komplemente \(U1^\prime\) und \(U2^\prime\) sind jeweils Linien durch den Ursprung, die orthogonal zu den Ebenen von \(U1\) bzw. \(U2\) liegen und zusammen mit diesen den vollen Raum aufspannen.
