Ein Kreuzprodukt richtig vereinfachen: |(2a+b)×(a+ 2b)|^2

Question

Aufgabe:

|(2a+b)×(a+ 2b)|^2

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht, welchen Ansatz ich wählen soll. Ich kenne die Lösung, aber das bringt mich nichts, weil ich den Weg verstehen möchte.

Ich wollte am anfang substituieren, bringt jedoch nichts.  Ich finde den Start nicht.

Answer 1

$$|(2a+b)\times(a+ 2b)|^2\\ =|2a\times a+4a\times b +b\times a+2b \times b|^2 =|0+4a\times b -a\times b+0|^2\\ =|3a\times b |^2=9|a\times b |^2$$

Answer 2

Aloha :)

$$\left|(2\vec a+\vec b)\times(\vec a+2\vec b)\right|^2$$$$=\left|2\underbrace{\vec a\times\vec a}_{=\vec 0}+\underbrace{\vec b\times\vec a}_{=-\vec a\times\vec b}+2\vec a\times(2\vec b)+\underbrace{\vec b\times(2\vec b)}_{=\vec 0}\right|^2$$$$\left|-\vec a\times\vec b+4\vec a\times\vec b\right|^2=\left|3\vec a\times\vec b\right|^2=9a^2b^2\sin^2\angle(\vec a;\vec b)$$

Comments

Vielleicht sollte man mal so nebenbei erwähnen, dass beim Kreuzprodukt das Distributivgesetz gilt. Nur so sind die getätigten Operationen erklärbar.

Eventuell hätte dieser Hinweis sogar genügt, um dem Fragesteller die eigenständige Lösung zu ermöglichen.

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Also ist es wie bei den binomischen Formeln?

Bei : 2a⃗ ×a⃗ -> Wieso kommt man da auf Null? Null ist es beim Vektorprodukt doch nur bei 0 oder 180 Grad. Wenn ich 2a mit a als Vektroprodukt habe, dann liegt a auf a und deshalb = 0 Grad und deshalb ist es 0?

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Der Winkel zwischen \(\vec a\) und \(\vec a\) ist 0 Grad, der Winkel zwischen \(\vec a\) und \(-\vec a\) ist 180 Grad. Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ist \(\vec 0\). Der Winkel ändert sich ja nicht, wenn du einen der beiden Vektoren verlängerst.

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Sowohl der Sinus von 0° als auch der Sinus von 180° ist 0.

Deshalb ist der Betrag von \( \vec{a}×\vec{a}\) und von  \( \vec{a}×-\vec{a}\) jeweils 0.

Answer 3

|(2a+b)×(a+ 2b)|^2

Vorweg:

Die Länge der Resultate entspricht jeweils der Fläche der aufgespannten (orientierten!) Parallelogrammflächen. Daher wird ein Teil Null. z.B. a x a = 0, a x 2a = 0, b x b = 0.

Ausserdem gilt: a x 2b = 2 * (a x b) = 2a x b . Ausserdem a x b = - (b x a) .

Nun die Umformung

|(2a+b)×(a+ 2b)|^2        | Distributivgesetz

= | 2a × (a+ 2b)  +b × (a+ 2b)|^2      | Distributivgesetz

= | 2a x a + 2a x 2b + b x a + b x 2b |^2      | obige Regeln

= | 2 * 0 + 4 * (axb) - (axb) + 2 * 0 |^2

= | 3 * (axb) |^2

= 9 * |axb|^2

Comments

Könntest du evt. den Zwischenschritt "obige Regel" zeigen? Ich komme nie auf eine Multiplikation.. und auch nie auf die 4..

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bzw. wie komme ich von 2a x 2b + b x a auf 4 * (axb) - (axb)..

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Die Länge der Resultate entspricht jeweils der Fläche der aufgespannten (orientierten!) Parallelogrammflächen. Daher wird ein Teil Null. z.B. a x a = 0, a x 2a = 0, b x b = 0.

Ausserdem gilt: a x 2b = 2 * (a x b) = 2a x b . Ausserdem a x b = - (b x a) .

Verstehst du das alles?

bzw. wie komme ich von 2a x 2b + b x a auf 4 * (axb) - (axb)

Folgt direkt aus diesen Eigenschaften des Vektorprodukts.