Differenzialgleichungen: Schwingungsgleichung: y = ymax sin ( ω*t +φ0 ) mathematisch herzuleiten?

Question

Aufgabe:

Hall allerseits, ich versuche die Schwingungsgleichung:

y = ymax sin ( ω*t +φ₀ ) herzuleiten, mathematisch!

Dabei stoße ich auf folgende Frage:

man hat ja dy /dt (1.Ableitung)

d²y/ dt² (2.Ableitung)

Warum heißt esnicht (dy)²/(dt)² ?

Comments

Von Ergänzung: Neue Version:

Titel: Differenzialgleichung......

Stichworte: differentialgleichung

Ich habe bis zum Punkt 2 alles verstanden. Jetzt verstehe ich nicht wie die von der Differentialgleichung auf die allgmeine Lösung kommen?

Es knüpft vielleicht an diesen Link noch an: https://www.mathelounge.de/659313/differenzialgleichung-losen

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Vgl. auch https://www.mathelounge.de/659281/differenzialgleichungen-schwingungsgleichung-mathematisch

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Jetzt verstehe ich nicht wie die von der Differentialgleichung auf die allgmeine Lösung kommen?

Die werfen dir die allgemeine Lösung einfach an den Kopf und kontrollieren dann mit Hilfe der Probe, ob sie passt. Mit der Probe kann man dann auch die wichtigsten Parameter berechnen. Z.B. die "Schwingungsdauer"  T.

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Mit einer Probe lässt sich allerdings die Allgemeinheit der Lösung nicht begründen.

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Richtig. Die scheinen das Finden der allgemeinen Lösung nicht zu behandeln. Vielleicht möchtest du da ja noch helfen(?). Bsp auch https://www.nanolounge.de/23807/harmonische-schwingungsgleichung?show=23812#c23812 und https://www.mathelounge.de/659313/differenzialgleichung-m-a-d-s-losen?show=659326#c659326

cool hat das nun mindestens vier mal unterschiedlich gefragt, kennt aber anscheinend keine komplexen Zahlen.

Answer 1

die erste Ableitung ergibt sich

durch y'(t)= d/dt y(t)

Die zweite Ableitung ergibt sich dann darauf aufbauend durch

y''(t)= d/dt ( d/dt y(t))

Also durch zweifache Anwendung des Differentialoperators d/dt .

Das schreibt man dann üblicherweise als Potenz

y'' (t) = (d/dt)^2 y(t)

und wenn du jetzt die Potenz gemäß "Potenzgesetze" auf den Bruch aufspaltest hast du

(d/dt)^2 := d^2 /dt^2 , wobei man die Klammer im Nenner der Übersichtlichkeit weglässt.

Hier siehst du, dass also im Zähler y nicht in der Potenz mit reinkommt. Das würde auch Einheitentechnisch nicht klappen,

wenn y in m und t ins , dann hat die zweite Ableitung ja die Einheit m/s^2 und nicht m^2/s^2.

Comments

wobei man die Klammer im Nenner der Übersichtlichkeit weglässt

dt wird eben als ein einziges Symbol bestehend aus zwei Buchstaben aufgefasst, so wie auch die Einheit km, weswegen  1 km^2 eben "ein Quadratkilometer" und nicht 1000 m^2 bedeutet.

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Kannst du mir vielleicht die harmonische Schwingungsgleichung herleiten:

y = y_{max *} sin ( ωt + φ0) mit φ= ωt + φ0

Answer 2

Es gibt durchaus unterschiedliche Schreibweisen. Siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Mehrfache_Ableitungen

Answer 3

es gibt Lösungsmethoden für bestimmte Differentialgleichungen.

Dies ist eine

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_gewöhnliche_Differentialgleichung

Man löst diese z.B mit einem Exponentialansatz. Das hat dir Tschakabumba in deinem Duplikat bereits vorgemacht, da braucht

man komplexe Zahlen. Das hast du aber nicht verstanden.

Da bleibt nur raten als Lösungsmethode, daher du musst dich an elementare Funktionen und ihre Ableitungen erinnern.

Setze der Einfachheit zuerst D=m=1

Die DGL lautet nun

$$s''(t)=-s(t)$$

Bei welcher Funktion kommt durch zweimaliges ableiten ihr negatives heraus?

Comments

sin x sinusfunktion

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Genau, das war ja nicht schwer da du die Lösung schon kanntest ;).

(Cosinus gänge auch)

Im allgemeinen lautet die DGL jedoch

$$s''(t)=-D/m *s(t)$$

Hier brauchst du noch die Kettenregel. Wenn im Sinus eine lineare Funktion

$$\varphi(t)=wt + \varphi_0$$ stünde, dann bekommst du durch die innere Ableitung den Faktor w^2 als Faktor vor s(t). Also muss $$\varphi(t)=\sqrt {D/m} *t + \varphi_0$$

sein. Das wird im letzten Teil deines Bildes auch nochmal gezeigt.

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Aber wie komme ich auf die allgemeine Lösung mit Sinus (...)

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Leider auch nur durch raten/probieren ...

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Die vorletzte Gleichung wt + Phi 0

Wie komme ich durch Raten auf die sinusfunktion?

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Das habe ich oben in meiner Antwort bereits begründet.

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Wo genau? XD

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Wie kamst du auf die erste Lösung der DGL. Also das mit allgemeinen?

Answer 4

Hallo

 das hab ich doch in nanolounge erklärt. man vermutet die Lösung (was in Physik noch leichter ist als in Mathe) und bestätigt es, indem man einfach  in die Dgl einsetzt und feststellt, dass sie erfüllt ist.

wenn du x^2=4 löst mit x=2 (und -2) liegt das doch auch nur daran, dass du weisst 2^2=4  wie würdest du das sonst lösen? ebenso weiss man (sin(x+b))''=-sin(x+b) wenn du nicht weisst dass 2^2=4 kannst du x^2=4 nicht lösen, wenn du nicht weisst  dass  (sin(x+b))''=-sin(x+b) kannst du die Dgl nicht lösen.

wenn du nicht weisst (e^x)'=e^x kannst du auch y'=y nicht lösen usw.

Gruß lul