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Symmetrie und Vollständigkeit
Um zu zeigen, dass aus der Kombination von Symmetrie und Vollständigkeit einer Relation
R in
A×A folgt, dass
R=A×A ist, betrachten wir die Definitionen von Symmetrie und Vollständigkeit etwas genauer.
Symmetrie: Eine Relation
R in einer Menge
A ist symmetrisch, wenn für alle
x,y∈A gilt: Wenn
xRy, dann auch
yRx. In einfacheren Worten: Wenn ein Paar
(x,y) in der Relation
R liegt, dann muss auch das umgekehrte Paar
(y,x) in der Relation liegen.
Vollständigkeit: In diesem Kontext bedeutet Vollständigkeit, dass für alle Paare
x,y∈A entweder
xRy oder
yRx (oder beides) gilt. Das bedeutet, es gibt keine zwei Elemente in
A, zwischen denen keine Beziehung besteht. Jedes Element steht in Relation zu jedem anderen Element, entweder direkt oder umgekehrt.
Beweis, dass R=A×A:
Um zu zeigen, dass aus diesen beiden Eigenschaften folgt, dass
R=A×A, gehen wir schrittweise vor:
1.
Vollständigkeit bedeutet, dass für jedes mögliche Paar
(x,y) in
A mindestens eine der Beziehungen
xRy oder
yRx existiert. Es gibt also keine Elemente in
A, zwischen denen keine Relation besteht.
2.
Symmetrie fügt hinzu, dass, wenn
xRy gilt, zwangsläufig auch
yRx gilt. Dies bedeutet, dass, wenn ein Paar
(x,y) in der Relation ist, das umgekehrte Paar
(y,x) ebenfalls in der Relation sein muss.
Die Kombination dieser beiden Bedingungen bedeutet, dass für jedes Paar
(x,y)∈A×A, ohne Ausnahme, die Beziehung
xRy und
yRx gelten muss. Daher muss jedes mögliche Paar von Elementen aus
A in der Relation
R enthalten sein, d.h.
R muss alle möglichen Paare in
A×A enthalten.
Da
R alle Paare enthält, die aus der Menge
A gebildet werden können, und
A×A die Menge aller dieser Paare ist, folgt daraus, dass
R=A×A.
Kurz gesagt: Die Vollständigkeit gewährleistet, dass es keine "fehlenden Verbindungen" zwischen irgendwelchen Elementen in
A gibt, während die Symmetrie sicherstellt, dass diese Verbindungen "bidirektional" sind. Zusammen bedeutet dies, dass alle möglichen Verbindungen (Paare) in
R vorhanden sein müssen, woraus
R=A×A folgt.