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Aufgabe:

Es sei R eine Relation in einem nichtleeren kartesischen Mengenprodukt der Form A × A.

Zeigen Sie:

(i) Wenn R zugleich vollständig und symmetrisch ist, gilt R = A × A.


Meine Überlegung:

Gegeben:

Symmetrie: ∀x,y ∈ A: x R y => y R x

Vollständigkeit: ∀x,y ∈ A: x R y oder y R x

Daraus folgt: Durch die Symmetrie ist gezeigt, dass (x,y) immer in der gleichen Relation steht wie (y,x). Damitist die Vollständigkeit in jedem Fall wahr. Kann ich diese Erkenntnis in der Vollständigkeit benutzen, um zu zeigen, dass für absolut alle Paare (x,y) ∈ A und (y,x) ∈ A gilt, dass sie auch ∈ von R sind? (Da (x,y) ∈ R = x R y)

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Symmetrie und Vollständigkeit

Um zu zeigen, dass aus der Kombination von Symmetrie und Vollständigkeit einer Relation RR in A×AA \times A folgt, dass R=A×AR = A \times A ist, betrachten wir die Definitionen von Symmetrie und Vollständigkeit etwas genauer.

Symmetrie: Eine Relation RR in einer Menge AA ist symmetrisch, wenn für alle x,yAx, y \in A gilt: Wenn xRyxRy, dann auch yRxyRx. In einfacheren Worten: Wenn ein Paar (x,y)(x,y) in der Relation RR liegt, dann muss auch das umgekehrte Paar (y,x)(y,x) in der Relation liegen.

Vollständigkeit: In diesem Kontext bedeutet Vollständigkeit, dass für alle Paare x,yAx, y \in A entweder xRyxRy oder yRxyRx (oder beides) gilt. Das bedeutet, es gibt keine zwei Elemente in AA, zwischen denen keine Beziehung besteht. Jedes Element steht in Relation zu jedem anderen Element, entweder direkt oder umgekehrt.

Beweis, dass R=A×AR = A \times A:

Um zu zeigen, dass aus diesen beiden Eigenschaften folgt, dass R=A×AR = A \times A, gehen wir schrittweise vor:

1. Vollständigkeit bedeutet, dass für jedes mögliche Paar (x,y)(x, y) in AA mindestens eine der Beziehungen xRyxRy oder yRxyRx existiert. Es gibt also keine Elemente in AA, zwischen denen keine Relation besteht.

2. Symmetrie fügt hinzu, dass, wenn xRyxRy gilt, zwangsläufig auch yRxyRx gilt. Dies bedeutet, dass, wenn ein Paar (x,y)(x, y) in der Relation ist, das umgekehrte Paar (y,x)(y, x) ebenfalls in der Relation sein muss.

Die Kombination dieser beiden Bedingungen bedeutet, dass für jedes Paar (x,y)A×A(x, y) \in A \times A, ohne Ausnahme, die Beziehung xRyxRy und yRxyRx gelten muss. Daher muss jedes mögliche Paar von Elementen aus AA in der Relation RR enthalten sein, d.h. RR muss alle möglichen Paare in A×AA \times A enthalten.

Da RR alle Paare enthält, die aus der Menge AA gebildet werden können, und A×AA \times A die Menge aller dieser Paare ist, folgt daraus, dass R=A×AR = A \times A.

Kurz gesagt: Die Vollständigkeit gewährleistet, dass es keine "fehlenden Verbindungen" zwischen irgendwelchen Elementen in AA gibt, während die Symmetrie sicherstellt, dass diese Verbindungen "bidirektional" sind. Zusammen bedeutet dies, dass alle möglichen Verbindungen (Paare) in RR vorhanden sein müssen, woraus R=A×AR = A \times A folgt.
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