Probleme mit Integration durch Substitution

Question

Ich habe probleme damit. ich habe mich z.b. an mehrere aufgaben gewagt aber ich bin immer auf ein falsches ergebnis gekommen.

z.B.: wollte ich die stammfunktion hiervon bilden: (e^x-1)² durch die substituion. oder geht das einfacher/anders aber wie? nach welcher regel? ich bin so vorgegangen:

z= e^(x) -1

z´ = e^x

dx= dz/e^x

\( \int\limits_{}^{} \) z² * \( \frac{dz}{e^x} \) jetzt wusste ich nicht weiter.. ich habe dann z = e^x - 1 umgeformt nach: e^x = z+1 und habe das dann in den bruch eingesetzt: z² * (1/z+1)*dz das ergibt z/1 weiter weiß ich nicht und ich glaube das ist falsch :/

Answer 1

Bei der Aufgabe brauchst du nicht unbedingt zu substituieren

\( \int\limits_{}^{} \) (e^x - 1)²  dx

= \( \int\limits_{}^{} \) e^2x - 2e^x + 1 dx

=  \( \frac{1}{2} \) * e^2x   - 2e^x   + x + C

Answer 2

einfacher:
(e^x -1)^2= e^{2x}-2e^x +1

nun kannst du summandenweise integrieren.

Mit Substitution:

e^x=z

z'=z → dz/dx=z → dx=dz/z

(e^x -1)^2 dx =(z-1)^2 /z dz =(z^2-2z+1)/z dz=(z-2z +1/z )dz

Summandenweise integrieren:

z^2/2 -2z +ln(z) +C =e^{2x}/2 -2e^x+x +C

Comments

Was wenn ich aber das mit der Klammerform behalten und nicht ausklammern möchte?

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In der anderen Aufgabe hatten ich schon geschrieben, dass es meist unklug ist zu Substituieren, wenn du die innere Ableitung nicht als Faktor vorliegen hast.

Multipliziere hier also aus wie es Gast jc2144 empfohlen hat.

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"wenn du die innere Ableitung nicht als Faktor vorliegen hast." Ich versteh nicht genau, was damit gemeint ist. Könntest du das vielleicht näher erklären?

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f(x) = (e^x - 1)^2

Bei der Funktion f ist die innere Funktion z(x) = e^x - 1 und die innere Ableitung z'(x) = e^x

Ich sehe aber außerhalb dieser Verkettung nicht den Faktor e^x wie es z.B. bei folgender Funktion wäre

g(x) = e^x * (e^x - 1)^2

Im zweiten Fall könnte man leicht die Stammfunktion sehen mit

G(x) = 1/3 * (e^x - 1)^3

Das siehst du wenn die G mal ableitest.

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Also soll ich nie einen Term ohne einen Faktor das seiner Ableitung entspricht, substituieren? z.B. auch nicht x² - \( \sqrt{1+x} \)

Soll man dann die partielle Integration in Betracht ziehen (auch wenn ich nicht genau weiß was das ist)?

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y = x^2 - √(1+x)

Partielle Integration heißt nicht umsonst Produktintegration. Sieht du hier ein Produkt, mal abgesehen von x*x vielleicht?

Zunächst hast du eine Differenz, die kann nach der Summenregel also getrennt integriert werden.

Die Potenz x^2 wird mit der Potenzregel integriert und die Wurzel mit der Substitution. Die Innere Ableitung ist 1 und die kannst du dir auch als Faktor vor die Wurzel schreiben.

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Mithilfe der Substituion den Wurzelteil integrieren? Man kann es doch anders machen also umschreiben, 1/2 + 1 die innere Ableitung rechts neben als Multiplikation 1/1 und ganz links neben 1/1/2 * (1+x)^3/2