Mit Spatprodukt komplanarität beweisen

Question

Aufgabe:

Ich habe die Vektoren : (1/2/-3),(4/1/1),(-14/0/-2) und muss beweisen, ob diese komplanar sind.

Problem/Ansatz:

Ich habe halt zuerst einfach zwei Vektoren genommen und deren Kreuzprodukt gemacht:

(4/1/1)x(-14/0/-2) -> -2/-6/14 und dann mit ((1/2/-3) geklingelt -> -56. In der Lösung steht jedoch = 0 und dass es komplanar

sei. was mache ich falsch?

Answer 1

Erstens: Das Skalarprodukt von (-2/-6/-14) und  ((1/2/-3) ist NICHT -56, sondern 28. Wenn du hier schon (-14)*(-3) nicht richtig ausrechnen kannst, hast du sicher ähnliche Fehler im Vektorprodukt gemacht.

PS: Die Vektoren sind nicht komplanar.

Comments

Also. Zuerst will ich mal sagen, dass ich da einen kleinen Tippfehler gemacht habe als ich die Rechnung von meinem Blatt aufgeschrieben habe. Das wären 14 und nicht -14 und die restlichen Sachen stimmen ja. Wenn man den Vektorprodukt berechnet bekommt man. (-2/-6/14)

---

Ich vermute, dass du diesen Tippfehler nun in der Fragestellung korrigiert hast. (?)

"geklingelt"

Was hast du dann getan?

---

Außer dem Tippfehler hat er/sie alles richtig gemacht,

Das Spatprodukt  ergibt -56 und die Vektoren sind nicht komplanar.

Entweder ist die Lösung falsch oder die Vektoren  (1/2/-3),(4/1/1),(-14/0/-2) wurden falsch abgeschrieben.

---

Was ist denn "geklingelt" ?

---

Gemeint ist wohl "gekringelt"   ( o für Skalarprodukt )

Answer 2

Aloha :)

Das Spatprodukt gibt das Volumen des durch die 3 Vektoren aufgespannten Parallelepipeds an. Wenn dieses Volumen gleich \(0\) ist, liegen alle 3 Vektoren in einer Ebene, sind also komplanar.

$$\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)\cdot\left[\left(\begin{array}{c}4\\1\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-14\\0\\-2\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\cdot(-2)-1\cdot0\\1\cdot(-14)-4\cdot(-2)\\4\cdot0-1\cdot(-14)\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{c}1\\2\\-3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-2\\-6\\14\end{array}\right)=1\cdot(-2)+2\cdot(-6)-3\cdot14=-2-12-42=-56$$Du machst nichts falsch. Ich habe dasselbe raus wie du, die Vektoren sind nicht komplanar.

Answer 3

[4, 1, 1] ⨯ [-14, 0, -2] = [-2, -6, 14]

[-2, -6, 14]·[1, 2, -3] = -56

Du hast richtig gerechnet. Wurden alle Vektoren richtig angegeben. Prüfe nochmals nach.

Lautet z.B. der eine Vektor [4, 1, -1]?