Die einfache Irrfahrt - Schwierigkeit beim Lösen der Aufgaben

Question

Hallo liebe Leute,

ich habe mich in der letzten Zeit mit 3 Aufgaben beschäftigt:

a) Sei k ≤ N eine gerade Zahl. Zeige, dass die Funktion f_k(x) := P(S_k = x) ihr Maximum für x = 0 annimmt.

b) Sei jetzt k ungerade. Für welche Werte von x ist f_k(x) maximal?

c)  Sei Ta = inf{k ∈{1,...,N} : S_k = a} die erste Zeit bei der a ∈ Z erreicht wird (wir setzen Ta = N + 1, wenn a nicht in N Schritten erreicht wurde). Für a ungleich 0 zeige, dass lim n→∞ P(Ta ≥ n) = 0, d.h. a wird irgendwann mit „grosser W-keit“ erreicht.

Mein Ansatz:

Bei der ersten Aufgabe habe ich gedacht, dass man x=0 erreicht, wenn man n Schritte nach oben und n Schritte nach unten macht. Dadurch erhalte ich P= (2k choose k)*p^k*(1-p)^2k-k=2^-2k(2k choose k).

 Bei der zweiten Aufgabe habe ich gedacht, dass man bei ungerader Zahl nie zu 0 zurückkehren kann. Stattdessen bleibt man bei x = 1, -1 stecken. Somit wären diese beiden Werte maximal.

Bei der letzten Aufgabe habe ich leider überhaupt keinen Ansatz? Könnt ihr mir vielleicht helfen? Und mir sagen, ob meine Überlegungen bei den ersten Aufgaben richtig sind und ob ich sie auch mathematisch beweisen kann? Das würde mir wirklich sehr helfen.

Comments

Was soll denn \( S_k \) sein? Der Pfad. Und ist die Irrfahrt symmetrisch oder nicht?

---

Sk ist die Werte des Pfads. Die Irrfahrt ist symmetrisch. Also die Wahrscheinlichkeit p=q=0.5

Answer 1

Hi,

zu (a) und (b)

Es gilt $$ P (S_n = k)  = \frac { \dbinom {n} {\frac{n+k}{2}} } {2^n} $$ Für gerade \( n = 2m \) wird diese Wahrscheinlichkeit für \(\frac{ 2m + k}{2} = m  \) am größten, also für \( k = 0 \)

Für ungerade \( n = 2m +1 \) ist die Wahrscheinlichkeit am größten wenn entweder \( m = \frac{2m+1+k}{2} \) oder \( m+1 = \frac{2m+1+k}{2} \) Im ersten Fall folgt \( k = -1 \) und im zweiten \( k = 1 \)

zu (c)

Sei \( M_n = \max\{ S_0, ... , S_n \} \) das Maximum der Werte von \( S_i \). Dann gilt, hier ohne Beweis, $$ (1) \quad \lim_{n\to\infty} P \left( \frac{M_n}{\sqrt{n}} \le x \right) = 2 \Phi(x) - 1 $$ mit \( \Phi \) ist die Standardnormalverteilung, s. Irrfahrten und verwandte Zufälle von Norbert Henze.

Sie \( V_k\) der Zeitpunkt, an dem der Pfad zum erstenmal die Höhe \( k \) erreicht, das entspricht Deinem \( T_a \).

Dann gilt \( \{ V_k \le n \} = \{ M_n \ge k \} \)

Weiter gilt $$ P \left( V_k > n \right) = P \left( M_n < k \right) = P \left(  M_n \le k+1 \right) = P \left( \frac{M_n}{\sqrt{n} } \le \frac{k+1}{\sqrt{n}} \right) $$

Aus (1) folgt dann $$ \lim_{n\to\infty} P \left(  V_k > n \right) = \lim_{n\to\infty} P \left( \frac{M_n}{\sqrt{n} } \le \frac{k+1}{\sqrt{n}} \right) = \lim_{n\to\infty}  2 \Phi\left( \frac{k+1}{\sqrt{n}} \right)  - 1 = \\ 2\Phi(0) - 1 = 0 $$