Aufgabe 2:
Wir betrachten die asymetrische Irrfahrt auf \( \mathbb{Z} \) mit \( p=\frac{1}{3} \), d.h. die Markovkette auf \( \mathbb{Z} \) mit \( p(n, n+1)=\frac{1}{3} \) und \( p(n, n-1)=\frac{2}{3} \).
(a) Zeigen sie \( P^{-1}\left(T_{0}^{R}=5\right)=\frac{1}{2} P^{1}\left(T_{0}^{R}=5\right) \), indem sie beide Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
(Welche Pfade führen in beiden Fällen zum gewünschten Ergebnis?) Begründen Sie dann, dass \( P^{-1}\left(T_{0}^{R}=n\right)=\frac{1}{2} P^{1}\left(T_{0}^{R}=n\right) \) für alle \( n \) gelten muss.
(b) Folgern Sie aus (a), dass \( P^{-1}\left(T_{0}^{R}<\infty\right)=\frac{1}{2} P^{1}\left(T_{0}^{R}<\infty\right) \).
(c) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{Z} \) abgeschlossen und irreduzibel ist und folgern Sie aus (b), dass die \( \mathrm{Markovkette} \) transient ist.
