Aloha :)
Die von dir beschriebene Vorgehensweise führt zum Ziel, ist hier aber nicht besonders ratsam. Wenn du dir die Kurve \(\gamma\) mal genau ansiehst, wirst du erkennen, dass es sich um einen Kreis in der xy-Ebene handelt, der geanu 1-mal voll durchlaufen wird. Es handelt sich daher um einen geschlossenen Weg, der eine Fläche \(\pi r^2\) einschließt, deren Normalenvektor gleich \((0;0;1)\) ist. Daher kann man das Kurvenintegral mittels des Integralsatzes von Stokes auf ein Flächenintegral zurückführen, das sehr einfach zu berechnen ist.
$$\int\limits_\gamma\vec F\,d\vec s=\int\limits_{A(\gamma)}\text{rot}(\vec F)\,d\vec\sigma=\int\limits_{A(\gamma)}\text{rot}(\vec F)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\,d\sigma=\int\limits_{A(\gamma)}\text{rot}_z(\vec F)\,d\sigma$$Wegen der einfachen Form des Normalenvektors müssen wir lediglich die \(z\)-Komponente der Rotation des Vektorfeldes \(\vec F\) bestimmen und können dann über die Kreisfläche \(A(\gamma)\) integrieren:
$$\text{rot}_z(\vec F)=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=1-(-1)=2$$Damit können wir das Integral sofort hinschreiben:
$$\int\limits_\gamma\vec F\,d\vec s=\int\limits_{A(\gamma)}2\,d\sigma=2\cdot\pi\,r^2$$
