Wie löst man eine hoch 4 Gleichung?

Question

Aufgabe:

√(x²-1)-√(x²+1) = √(2x²-x-1)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Gleichung aufgelöst und habe dann eine hoch 4 Gleichung ich kenn den Lösungsansatz aber ich kann es nicht lösen kann mir wer helfen die Gleichung zu lösen

Comments

ich denke ich brauche schon eine Lösung wie zb x1=; x2=; x3=;x4=

Es gibt keine Lösung

√(x^2-1) = kleinere Zahl als √(x^2+1)

√(x^2-1) minus √(x^2+1) ist negativ

√(2x^2-x-1) ist positiv

√(x^2-1)-√(x^2+1) = √(2x^2-x-1)
linke Seite negativ = rechte Seite positiv
keine Lösung

Answer 1

√(x²-1)-√(x²+1) = √(2x²-x-1)

Für alle Einsetzungen aus ℝ, für die die drei Wurzeln definiert sind, ist die erste kleiner als die zweite.

Die linke Seite der Gleichung ist deshalb negativ, die rechte ≥ 0.

Die Lösungsmenge über ℝ ist leer.

Gruß Wolfgang

Comments

ich denke nicht dass mein prof das so gelten lassen wird

ich denke ich brauche schon eine Lösung wie zb x1=; x2=; x3=;x4=

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Da die Lösungsmenge leer ist, gibt es keine x₁  ....

Wie lautet denn deine " hoch 4 Gleichung" ?

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ich denke nicht dass mein prof das so gelten lassen wird

da wird Deinem Prof wohl nichts anderes übrig bleiben. Da ist kein \(x_{1,2,3,4}\) in \(\mathbb{R}\) welches die Gleichung \(\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1} = \sqrt{2x^2-x-1}\) erfüllt.

siehe auch Wolfram Alpha.

Answer 2

ich denke nicht dass mein prof das so gelten lassen wird

ich denke ich brauche schon eine Lösung wie zb x1=; x2=; x3=;x4=

Dann quadriere beide Seiten.

Auf der linken Seite entsteht wegen der binomischen Formel erneut eine Wurzel.

Subtrahiere von der linken Seite alles, was nicht zu dieser Wurzel gehört.

Quadriere die Gleichung erneut und löse sie. Mache mit allen erhaltenen Lösungen eine Probe in der Ausgangsgleichung.

Answer 3

Die von Wolfgang vorgeschlagene Lösung ist die kürzest mögliche korrekte Lösung, falls die Gleichung über dem Bereich ℝ der reellen Zahlen gelöst werden soll. Das kann auch der Herr Professor nicht besser.

Answer 4

√(x^2 - 1) - √(x^2 + 1) = √(2·x^2 - x - 1)

(x^2 - 1) - 2·√(x^2 - 1)·√(x^2 + 1) + (x^2 + 1) = 2·x^2 - x - 1

- 2·√(x^2 - 1)·√(x^2 + 1) = -x - 1

√(x^2 - 1)·√(x^2 + 1) = 0.5·x + 0.5

(x^2 - 1)·(x^2 + 1) = 0.25·x^2 + 0.5·x + 0.25

x^4 - 1 = 0.25·x^2 + 0.5·x + 0.25

x^4 - 0.25·x^2 - 0.5·x - 1.25 = 0

Lösungen

Reelle: x = 1.222714177 ∨ x = -1

Komplexe: x = -0.1113570886 - 1.004945461·i ∨ x = -0.1113570886 + 1.004945461·i

Die reellen Lösungen erfüllen nicht die Gleichung bei einer Probe.

Comments

Hallo coach,
über dieselben Umformungen habe ich auch
Reelle: x = 1.222714177 ∨ x = -1
erhalten.
Bedingt durchs Quadrieren zeigte sich ;
Die reellen Lösungen erfüllen nicht die Gleichung bei einer Probe.
Die Ergebnisse sind also nicht zutreffend.

Der erste Beweis unterhalb der Frage ist doch
wesentlich einfacher und klarer.

mfg Georg

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Der erste Beweis unterhalb der Frage ist doch
wesentlich einfacher und klarer.

Richtig. Aus dem Grunde hatte ich ja auch mit als einer der ersten einen Daumen vergeben.