Welcher Vektor ist Vektor c beim Spatprodukt?

Question

Die allgemeine Formel für das Spatprodukt lautet ja:

$$ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} $$


In meiner Aufgabe habe ich drei vektoren a1, a2, a3 in R3 gegeben die jeweils auf einander normal stehen also a1 steht sowohl auf a2 und a3 normal. und a2 und a3 stehen ebenfalls aufeinander normal. Das bedeutet ja es liegt eine paarweise Orthogonalität vor richtig? Weiters muss ich jetzt beweisen ob ein Rechtssystem oder Linkssystem vorliegt und das geht ja mit dem Spatprodukt -> Rechtssystem -> pos. Vorzeichen & linkssystem vice versa.


Für mich stellt sich jetzt nur die Frage wie find ich heraus welche von den beiden vektoren ich als Kreuzprodukt nehmen muss und welcher vektor derjenige ist der am Ende ein Skalarprodukt bildet mit dem Ergebnis des Kreuzproduktes.




Mfg,

Answer 1

(a1 × a2)·a3 ist das gleiche wie a1·(a2 × a3)

Daher wäre es hier egal wie du rechnest. Nur die Reihenfolge von a1, a2 und a3 sollte so bleiben, weil durch ein Vertauschen sich dann auch das System ändern würde.

Ich würde hier die erste Variante bevorzugen also (a1 × a2)·a3 um auf ein Rechtssystem zu prüfen.

Comments

Ohh okee vielen Dank!!

Also wenn der in der Angabe nur folgendes steht: (Zahlen hab ich jz extra weggelassen weil ich es selber rechnen will)

"Bestimmen Sie, ob die 3 (a1=(xyz),a2=(xyz),a3=(xyz) Vektoren paarweise aufeinander normal stehen. Falls ja, stellen Sie fest, ob sie ein Rechts- oder Linkssystem bilden."

ist damit nur gemeint, dass ich prinzipiell mal festellen soll ob die Vektoren aufeinander normal stehen und falls ja (sag ma mal es ist wie in der ursprünglichen Frage das a1 zu a2 und a3 normale ist und a2 und a3 auch zueinander normal sind) anhand des Spatprodukts in der Reihenfolge a1,a2,a3 feststellen um was für ein System es sich handelt. Die Reihenfolge bleibt immer a1,a2,a3 solang nicht explizit angegeben ist in welcher Reihenfolge man es betrachten soll oder?

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a1 zu a2 und a3 normale ist und a2 und a3 auch normal

Richtig. Es müsste also gelten

a1·a2 = 0 ; a1·a3 = 0 sowie a2·a3 = 0

Die Reihenfolge bleibt immer a1, a2, a3 solang nicht explizit angegeben ist in welcher Reihenfolge man es betrachten soll oder?

Genau. Es kommt hier ja immer auf die Reihenfolge der Vektoren an. Wenn x,y,z ein Rechtssystem bilden tun y,x,z dies nicht.

Die Reihenfolge richtet sich nach der Nummerierung.

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ok vielen lieben Dank!!

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Sorry eine rückfrage hätt ich noch: wenn die paarweise Orthogonalität nicht zutrifft hat das Spatprodukt dann noch eine Aussagekräftigkeit bezüglich eines links und rechtssystems? Eig nicht weil ein System ja nur bei paarweiser Orthogonalität auftritt oder?

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Ein Rechtssystem kann auch unabhängig von der Orthogonalität existieren soweit ich weiß.

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Okeee good to know vielen dank!

Answer 2

Aloha :)

Beim Spatprodukt kannst du die Vektoren zyklisch durchrotieren:

$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b$$

Du darfst aber beim Vektorprodukt die beiden Vektoren nicht vertauschen, denn es gilt:

$$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=-(\vec b\times\vec a)\cdot\vec c$$

Daher ist deine Frage sehr berechtigt, je nach Reihenfolge der Vektoren ändert sich das Vorzeichen des Spatsproduktes. Wenn du also angibst, ob 3 Vektoren ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden, musst du unbedingt auch die Reihenfolge der Vektoren angeben.

Das kannst du dir mit der Rechte-Hand-Regel klar machen. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand ausgestreckt, bilden ein Rechtssystem. Aber welchen Vektor legst du auf den Daumen, welchen auf den Zeigefinger und welchen auf den Mittelfinger?

Dasselbe funktioniert auch als Linke-Hand-Regel. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der linken Hand ausgestreckt, bilden ein Linkssystem. Aber auch hier musst du wieder angeben, welcher Vektor wohin gelegt wird.

Comments

Ok dankee! und wenn ich als Vektor durchnummerierte Vektoren bekomme und bestimmen soll ob ein rechts,links oder gar kein system vorhanden ist? zb bei a1 a2 und a3 ist die Reihenfolge dementsprechend (a1xa2)*a3 oder? oder hängt es vom Zusammenhang der Vektoren zu sich ab. a1 ist orthogonal zu sowohl a2 und a3 , sowie a2 und a3 sind auch orthogonal zueinander. und weil a1 zu beiden ortho. ist wird er als erster in der Reihenfolge geschrieben

mfg

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Wenn die Vektoren durchnummeriert sind, ist ja eine Reihenfolge vorgegeben. Es gilt übrigens:

$$(\vec a_1\times\vec a_2)\cdot \vec a_3=(\vec a_2\times\vec a_3)\cdot \vec a_1=\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3)$$

Es ist also egal, welche Vektoren du zuerst "kreuzt" und welche danach erst multiplizierst. Die Reihenfolge der Vektoren ist entscheidend.

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Okii super dankee!!

und wenn jetzt drei vektoren gegeben sind und diese nicht paarweise orthogonal sind sondern z.B nur a1 und a2 orthogonal sind aber es sonst keine weitere Orthogonalität gibt. hat dann das Spatprodukt eine Aussage bzgl. Systeme? Eig. nicht oder? Weil ein System nur mit einer paarweisen Orthogonalität zustande kommt oder?

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Das Spatprodukt gibt dir immer das Volumen des Spates an, der durch die 3 Vektoren aufgespannt wird. Das gilt auch dann, wenn die 3 Vektoren nicht senkrecht aufeinader stehen.

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Okee dankee aber wenn sie nicht senkrecht aufeinander stehn können sie kein system bilden richtig?

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Ein Koordinatensystem muss nicht zwangsläufig Achsen haben, die senkrecht aufeinander stehen. Man ist jedoch bestrebt, möglichst orthogonale Achsen zu haben, weil dann viele Berechnungen einfacher sind.

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vielen Dank :)