Wie lautet der folgende Winkel in Radiant?

Question

Aufgabe:

a) 360 Grad
b) 57 Grad

Geben Sie die Ergebnisse als Bruchteile von π und als Zahlenwerte an.

Bitte so verständlich wie möglich erklären ,vielen dank.

Answer 1

Man hat das hier mit einer proportionalen Zuordnung zu tun.

360° = 2·pi

57° = 2·pi * 57/360 = 19/60·pi ≈ 0.9948

Comments

Danke. Wie bist du auf 19/60 gekommen und warum muss man nicht 2*pi*r machen. Warum fällt r weg ,habe mir vorhin ein Video angeschaut ,dass das r wegfällt aber nicht verstanden warum. VG

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passt schon bin darauf gekommen ,danke

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Der Winkel ist im Bogenmaß als Länge eines Kreisbogens vom Einheitskreis mit dem Radius r = 1 definiert. Und die 1 kann als Faktor entfallen.

Answer 2

Die Zuordnung Grad ↔ Bogenmaß (a.k.a. Radiant) ist proportional und 360° entsprechen 2π. Du darfst deshalb Dreisatz verwenden um Winkel umzurechnen.

Answer 3

Hallo Mathefrager,

ich weiß ja nicht, woher manchmal Deine Fragen kommen. Auf der einen Seiten absolutes Abiturniveau und dann das hier ... nun gut ;-)

Der Radiant gibt die Länge des Kreisbogens an, die ein Winkel auf dem Einheitskreis aufspannt. Also für die 57 Grad ...

... ist das die Länge des blauen Bogens. Du weißt sicher, dass ein Kreisumfang \(U=2\pi r\) ist. Wenn \(r\) jetzt \(=1\) ist (wg. Einheitskreis!), dann ist die Länge des gesamten Umfangs$$\omega (360°) = 2 \pi \approx 6,283 $$ Und wenn Du nur einen Anteil hast, so z.B. \(57°\), so ist der Winkel$$\omega(57°) = \frac{57}{360} \cdot 2\pi = \frac{19}{60} \pi\approx  0,9948 $$Gruß Werner

Comments

Danke dir. Hatte sowas noch nicht gehabt und jetzt muss ich mich mit sowas befassen für Physik/mathe.

Wenn kein radius gegeben ist ,ist dann der radius immer 1 ? Und bedeuet dieses ω = winkel oder wie ?

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Wenn kein radius gegeben ist ,ist dann der radius immer 1 ? 

Es geht ja nicht um den Radius, sondern um den Winkel. Der Radiant ist ein Mass für den Winkel - nichts sonst; und das ist vom Radius ganz unabhängig.

Und bedeuet dieses ω = winkel oder wie ?

\(\omega\) ist ein Zeichen, was allgemein für Winkel verwendet wird. Ich hätte auch \(\alpha\), \(\beta\) oder \(\varphi\) nehmen können. Allgemein werden Winkel mit griechischen Buchstaben bezeichnet.

Sich auf eine Radius von 1 zu beziehen, vereinfacht vieles. Wenn z.B. ein Kurvenstück einer Straße in Form des Winkels \(\omega \, [\text{rad}]\) und des Radius \(r\) gegeben ist. Und ein Auto durchfährt diesen Bogen in einer Zeit \(t\), so ist die Geschwindigkeit \(v\) des Autos$$v = \frac{r \cdot \omega}t$$Da ist also kein Faktor mehr drin, der die Sache verkomplizieren würde. Versuche das mal mit Grad!

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Okay hast recht ist ganz unabhängig vom radius.

Was soll man bei der Formel bei t angeben wenn man den Winkel und r=1 hat ,um die Geschwindigkeit rauszubekommen ?

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Was soll man bei der Formel bei t angeben wenn man den Winkel und r=1 hat ,um die Geschwindigkeit rauszubekommen ?

.. hmm! irgendwas hast Du da gar nicht verstanden - aber was?

\(t\) sollte gegeben sein (z.B. mit der Stoppuhr gemessen). Genauso sollte das Kurvenstück in Form von Winkel (in [rad]) und Radius \(r\) bekannt sein. Und daraus kann man dann die mittlere Geschwindigkeit des Autos berechnen.

Das sollte nur ein Beispiel für die Anwendung eines Winkels in der Einheit [rad] - also Radiant - sein. Wäre der Winkel in Grad gegeben, müßte man ihn erst in [rad] umrechnen, oder sich noch mal die selben Gedanken machen, die ich versucht habe in meiner Antwort darzulegen.

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Also wenn ich was mit Geschwindigkeit rechnen will und Winkel gegeben sind muss ich diese immer in rad umwandeln ? Ich habe versucht deine Formel zu lösen indem ich für die Variablen einsetze.

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Also wenn ich was mit Geschwindigkeit rechnen will und Winkel gegeben sind muss ich diese immer in rad umwandeln ?

Das war nur ein Beispiel (ich erwähnte es oben bereits).

Man kann allgemein sagen, wann immer Du mit Winkeln rechnen musst, was über plus und minus hinaus geht, ist es von Vorteil die Winkel gleich in [rad] anzugeben.

Ich habe versucht deine Formel zu lösen indem ich für die Variablen einsetze.

Was verstehst Du denn unter 'Formel lösen'? Oben steht schlicht:

Geschwindigkeiit ist Weg pro Zeit (das ist Physik)

und der Weg (auf der Kreisbahn) ist  Winkel mal Radius. Das ist alles.

Beispiel: sei der Winkel \(\omega=1 \, :\approx 57°\) und \(t=4\text{s}\) und der Radius \(20\text{m}\), dann ist die Geschwindigkeit $$v = \frac{\omega \cdot r}{t} = \frac{1 \cdot 20 \text{m}}{ 4s} = 5 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$