Lösen Sie das folgende homogene lineare Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

a) Lösen Sie das folgende homogene lineare Gleichungssystem: \( \underline{A} \cdot \vec{x}=\overrightarrow{0} \)

mit \( \underline{\underline{A}}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 2 \\ -3 & -1 & -1\end{array}\right) \)

b) Gegeben ist der Vektor \( \vec{b}=\left(\begin{array}{c}4 \\ \alpha \\ 3 \alpha\end{array}\right) \) mit \( \alpha \in R \). Bestimmen Sie \( \alpha \in R \) so, dass das lineare Gleichungssystem \( \underline{A} \cdot \vec{x}=\vec{b} \) lösbar ist und berechnen Sie dann die Lösungsmenge.

Answer 1

3x + 2y + z = 0

6x + 3y + 2z = 0

-3x - 1y - 1z = 0

 Wir bringen die auf Stufenform

-y = 0

y = 0

d.h. y muss 0 sein und z geben wir in Abhängigkeit von x an.

 

3x + z = 0

z = -3x

D.h. der Lösungsvektor lautet (x | 0 | -3x)^-1

 

b)

 

3x + 2y + z = 4

6x + 3y + 2z = a

-3x - 1y - 1z = 3a

 Wir bringen die auf Stufenform

-y = a - 8

y = 4 + 3a

Das lösen wir mit dem Gleichsetzverfahren

8 - a = 4 + 3a

-4a = -4

a = 1 (a muss also zwangsweise 1 sein)

y = 7

 

3x + 14 + z = 4

z = -3x - 10

Der Lösungsvektor lautet dann (x | 7 | -3x - 10)^-1