Integrieren der Logarithmusfunktion

Question

Ich verstehe nicht, wie ich beim Integrieren von f(x)=ln x auf F(x)=x*ln x -x+C komme.

Wenn ich F(x) wiederum ableite komme ich ja nicht wieder auf ln x , weil ln x abgeleitet ergibt ja 1/x.

Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte.

Grüße Manuel

Answer 1

Man macht hier einen kleinen Trick und schreibt für ln(x) =1 *ln(x)

und integriert partiell.

Comments

Der übliche Problem: Wie kommt man auf den Trick?

Das frage ich mich oft, wenn der Begriff TRICK in Mathe fällt. :)

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Ich wußte das "damals " auch nicht, woher auch  und mein Mathe Lehrer hat es auch so gesagt  :-)

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Dabei trickst man doch nicht in der angeblich so ehrlichen/nüchternen Mathematik.

Seltsam! :)

Answer 2

f (x )= ln x.
Ich würde eine probeweise Integration einmal
durchführen. Erste Annäherung
F ( x ) = x * ln (x)
[ x * ln (x) ] ´ => Produktregel
1 * ln (x ) + x * 1/x
ln ( x ) + 1 ( Die 1 ist jetzt zuviel )
1 aufgeleitet ergibt x
also
x * ln (x) - x
[ x * ln (x) - x ] ´ = ln ( x )

Und jetzt schreiben wir noch die Integrationskonstante
hinzu
F ( x ) = x * ln (x) - x + C

Kann die partietielle Integration auch einmal
vorführen.

Answer 3

Wenn ich F(x) wiederum ableite komme ich ja nicht wieder auf ln x.

An alle bisherigen Antwortgeber: Lest ihr eigentlich, bevor ihr antwortet?

Ihr wollt einem Fragesteller das Intergrieren erklären, der nicht mal das (in der Regel wesentlich einfachere) Ableiten beherrscht. Das ist euch wohl nicht aufgefallen?

@Manuel:

Hast beim Ableiten des Summanden x*ln x auch wirklich die dafür notwendige Produktregel verwendet (und dann davon die Ableitung von x subtrahiert)?

Wenn man F(x) ableitet, kommt man wirklich auf ln(x).