Brüche integrieren - Frage dazu

Question

Es gibt ja eine bestimmte Regel, die besagt, dass, wenn bei der Integration von Brüchen im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, dann die Ableitung gleich ln | "was im Nenner steht" | ist.

Also z.B.: Stammfunktion zu 2x / x^2 + 4 ist ln|x^2 + 4|

Wieso ist das dann aber nicht bei allen Brüchen so?

$$ \frac{13x^2}{\frac{13x^3}{3} +16} $$ beispielsweise. Die Ableitung vom Nenner ist das, was im Zähler steht.

Wieso ist dann die Lösung aber nicht $$ ln| \frac{13x^3}{3} +16 | $$, sondern ln|13x^3 + 48| ?

Für Antworten bedanke ich mich im Voraus und wünsche frohe Festtage!

Answer 1

Aloha :)

Wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist, gilt allgemein:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$Das ist unmittelbar klar, wenn man die rechte Seite mit der Kettenregel ableitet. Daher ist$$\int\frac{\overbrace{2x}^{=\left(x^2+4\right)'}}{x^2+4}\,dx\ln\left|x^2+4\right|+\text{const}$$und bei dem fraglichen Integral:$$\int\frac{13x^2}{\frac{13x^3}{3}+16}\,dx=\int\frac{\pink3\cdot13x^2}{\pink3\cdot\left(\frac{13x^3}{3}+16\right)}\,dx=\int\frac{\overbrace{39x^2}^{=\left(13x^3+48\right)'}}{13x^3+48}\,dx=\ln\left|13x^3+48\right|+\text{const}$$Wenn du nun aber als Konstante \(\ln(\frac13)\) wählst, stellst du fest, dass$$F(x)=\ln\left|13x^3+48\right|+\ln\left(\frac13\right)=\ln\left|\left(13x^3+48\right)\cdot\frac13\right|=\ln\left|\frac{13x^3}{3}+16\right|$$auch eine mögliche Stammfunktion ist.

Answer 2

Die der Frage zugrundeliegende Annahme, dass die Lösung nicht

        \(\ln\left| \frac{13x^3}{3} +16 \right|\)

sei, ist falsch.

Comments

Und auf die eigentliche Frage geht man nicht ein? Soll der FS jetzt also davon ausgehen, dass seine Lösung stimmt und die andere falsch ist?

Answer 3

Das kommt vom Nachschauen in den Lösungen.

Mach die Probe mit beiden Lösungen - stimmen beide, sind beide Stammfunktionen.

Warum? Innerhalb des Betrags unterscheiden sie sich um den Faktoren 3. Es gilt aber \(\ln (3\cdot u)=\ln 3 + \ln u\), also unterscheiden sich beide Funktionen um den Summanden \(+\ln 3\), was beim Ableiten keine Rolle spielt.

Es gibt unendlich viele Stammfunktionen zu ein und derselben Funktion. Ob es eine Stammfunktion ist, prüft man am besten selbst durch Ableiten nach. Das Phänomen hier tritt auch in anderen Fällen schonmal auf und erzeugt bei Musterlösungsgläubigen Verwirrung.

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Jo, auch hier: vielen Dank für die gute Antwort.

Nächstes Mal bin ich schlauer, und mache solche "Fehler" nicht mehr ;)

Answer 4

Es gibt ja eine bestimmte Regel, die besagt, dass, wenn bei der Integration von Brüchen im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, dann die Ableitung gleich ln | "was im Nenner steht" | ist.

Das stimmt, trifft aber nur in selten, zu Übungszwecken konstruierten Sonderfällen zu. Nicht alle Brüche sind so leicht zu integrieren.

Man kann hoffen, dass es so ist, meist ist es aber nicht so und daher aufwändiger.

Beispiel:

f(x) =  x^2/(x^4+5x)

https://www.integralrechner.de/

Mach die Probe und du siehst, dass die Regel hier greift.

13/3*x^3 wird zu 13/3*3*x^2 = 13x^2

Was veranlasste zu glauben, dass die Lösung falsch sei? Du kannst sie doch leicht nachprüfen.

Den Rest hat dir Tschakabumba erklärt, der unter Anwendung von Potenzgesetzen auch die andere Lösung erklärt hat,

die falsch bzw. unvollständig ist, wenn man nicht C= ln(1/3) dazuschreibt.

Stammfunktionen schreibt man gewöhnlich so: F(x) + C

ln|x^2+4| ist eine von unendlich vielen Stammfunktionen von 2x/(x^2+4). Hier wäre C=0.

https://studyflix.de/mathematik/stammfunktion-1859

Comments

Stammfunktionen schreibt man gewöhnlich so: F(x) + C

Es ist lobenswert daran zu erinnern, dass man das bei manchen Fragestellungen so machen muss.

So lange aber nicht klar ist, ob es sich bei der Aufgabe um "Gib eine Stammfunktion an" oder um "Gib die Menge aller Stammfunktionen an" (gleichbedeutend mit "Ermittle das unbestimmte Integral") handelt, trägt dieser Einwurf eher zur Verwirrung bei.

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Trifft nicht immer selten zu; paar Mal muss man in der Klausur bei solchen Fallen auch mal genauer schauen ;)