Integrieren von 4 / (x2 + 2) ?

Question

Ich habe die Aufgabe:

$$\int_{}^{} \frac{x^3 + 3x^2 + 4x + 2}{x^2 + 2} dx$$

und soll das Unbestimmte Integral bestimmen.

Mein Rechenweg sieht wie folgt aus:

 

Aber, wie integriere ich nun 4/ (x² +2) ?

Habe gedacht man könnte einfach 4 * 1 / (x² +2) schreib und könnte dann den ln bilden.

Wäre nett wenn mir jemand den richtigen Rechenweg aufzeigen könnte.

EDIT: Klammern um den Nenner ergänzt

Comments

∫ 4  / ( x² + 2)  dx
ist

Ist wohl ein bißchen komplizierter.

Answer 1

Hi MaxFischer,

bei einem solchen Integral musst du immer an dieser Form hier denken:

$$\int{ \frac{1}{x^2+1}} dx = \arctan(x) + C$$

Das heißt unsere Aufgabe ist nun den Bruch soweit umzuformen, bis wir diese "Form haben" und das geht so:

$$\int{\frac{4}{x^2+2}} dx = 4\int{\frac{1}{x^2+2}} dx = 4\int{\frac{1}{(\frac{x}{\sqrt{2}})^2+1}} dx$$

Jetzt ist die "Form" schon mal da! Als nächstes substituieren!

$$u = \frac{x}{\sqrt{2}}$$

Ergibt dann:

$$2\sqrt{2} \int{\frac{1}{u^2+1}}du$$

Das kennen wir ja bereits!

Also:

$$2\sqrt{2} \arctan({u}) +C = 2\sqrt{2} \arctan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)} +C$$

Fertig!

Comments

Danke, für die super Antwort! :) Schönen Abend noch!

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Danke sehr nett! Wünsche ich auch!

Answer 2

$$\int\frac{4}{x^2+2}dx=4\int\frac{1}{x^2+2}dx=2\int\frac{1}{(x/\sqrt{2})^2+1}dx\\ =2\sqrt{2}\int\frac{1}{u^2+1}du\\=2\sqrt{2}arctan(x/\sqrt{2})$$

Hierbei wurde einmal x/√2 = u substituiert. Das letzte Integral ist ein Standardintegral, auf dessen Lösung du stößt, wenn du die Ableitung der Arcustangensfunktion bestimmst.