Zeigen, dass die Funktion f periodisch ist mit der Periode 2π

Question

ich bin neu in diesem Forum und bedanke mich schon mal im Voraus für eure liebe Unterstützung und Mühe!

Ich bin leider nicht sehr gut in Mathe und benötige daher Hilfe für folgende Aufgabe:

Es sei die Funktion f :x → sin(3x) – sin(x), x → R gegeben (x im Bogenmaß).

a) Zeigen Sie, dass die Funktion f periodisch ist mit der Periode 2π, das heißt, es gilt f(x) = f(x + 2π) für alle x ∈ R.

Dies habe ich folgenderweise gelöst:

f(x+2π)=sif(x+2π)=sin(3x+6π)-cos(x+2π)
sin(3x)cos(6π)+cos(3x)sin(6π)-[sin(x)cos(2π)+cos(x)sin(2π)
Wegen cos(6π)=cos(2π)=1 und sin(6π)=sin(2π)=0
sin(3x)·1+cos(3x)·0-[sin(x)·1+cos(x)·0 = sin(3x)-sin(x)=f(x)

b) Zeigen Sie, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Soll ich hier den Funktionsterm nach f auflösen?

c) Zeigen Sie, dass die Funktion f gleichwertig in der Form f(x) = 2 · sin(x) ·  cos(2x) dargestellt werden kann.

Das habe ich leider nicht verstanden.

d) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f.

      Anleitung: Verwenden Sie die Darstellung von c).

e) Zeigen Sie, dass die Funktion f  ihre höchsten Werte (Maxima) an den Stellen \( x = \frac { 3 \pi } { 2 } + 2 \pi \cdot z \) mit z ∈ Z erreicht.

Bei diesen Aufgaben komme ich leider nicht klar. Ich hoffe ihr könnr mit weiterhelfen.

Answer 1

Aloha :)

(a) kannst du auf die Peroidizität des Sinus zurückführen, also auf \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\).

$$f(x+2\pi)=\sin(3(x+2\pi))-\sin(x+2\pi)=\sin(3x+6\pi)-\sin(x+2\pi)$$$$\phantom{f(x+2\pi)}=\sin(3x)-\sin(x)=f(x)$$

(b) kannst du auf die Punktsymmetrie des Sinus zurückführen, also auf \(\sin(-x)=-\sin(x)\). Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet formal, dass \(f(-x)=-f(x)\) ist. Das kannst du durch Rechnung nachprüfen.

$$f(-x)=\sin(3(-x))-\sin((-x))=\sin(-3x)-\sin(-x)=-\sin(3x)-(-\sin(x))$$$$\phantom{f(-x)}=-\sin(3x)+\sin(x)=-f(x)$$

(c) ist mit Hilfe der Additionstheoreme wie folgt machbar. Die Additionstheoreme lauten:

$$\sin(a\pm b)=\sin(a)\cos(b)\pm\cos(a)\sin(b)$$$$\cos(a\pm b)=\cos(a)\cos(b)\mp\sin(a)\sin(b)$$Damit ist nun:

$$f(x)=\sin(3x)-\sin(x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin(2x+x)-\sin(x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin(2x)\cos(x)+\sin(x)\cos(2x)-\sin(x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin(x+x)\cos(x)-\sin(x)+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=[\sin (x)\cos (x)+\sin (x)\cos (x)]\cos(x)-\sin(x)+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=2\sin (x)\cos^2(x)-\sin(x)+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin (x)\cdot(2\cos^2(x)-1)+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin (x)\cdot(2\cos^2(x)-(\sin^2(x)+\cos^2(x))+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin (x)\cdot(\cos^2(x)-\sin^2(x))+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=\sin (x)\cdot\cos(x+x)+\sin(x)\cos(2x)$$$$\phantom{f(x)}=2\sin(x)\cos(2x)$$

(d) ist nun einfach, weil ein Produkt \(=0\) ist, wenn einer der Faktoren \(=0\) ist. Der \(\sin(x)\) wird \(=0\), wenn \(x=\mathbb{Z}\pi\) ist. Der \(\cos(2x)\) wird \(=0\), wenn \(x=(2\cdot\mathbb{Z}-1)\frac{\pi}{4}\) ist.

(e) erfordert die Bildung der Ableitung und Einsetzen der angegebenen Extremstellen:

$$f'(x)=3\cos(3x)-\cos(x)$$$$f'\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)=3\cos\left(\frac{9\pi}{2}+6\mathbb{Z}\pi\right)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)=3\cos\left(\frac{9\pi}{2}\right)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)$$$$\phantom{f'\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)}=3\cos\left(\frac{\pi}{2}+4\pi\right)-\cos\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi\right)=3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$$$\phantom{f'\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)}=3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot0-0=0$$Streng genommen musst du auch noch die zweite Ableitung bilden, die angegebenen Extremstellen einsetzen und zeigen, dass die Ergebnisse \(<0\) sind.$$f''(x)=-9\sin(3x)+\sin(x)$$

$$f''\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)=-9\sin\left(\frac{9\pi}{2}+6\mathbb{Z}\pi\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)=-9\sin\left(\frac{9\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$$$$\phantom{f''\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)}=-9\sin\left(\frac{\pi}{2}+4\pi\right)+\sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi\right)=-9\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$$$\phantom{f''\left(\frac{3\pi}{2}+2\mathbb{Z}\pi\right)}=-9\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-9\cdot1-1=-10<0$$

Answer 2

f(x + 2·pi)

= SIN(3·(x + 2·pi)) - SIN((x + 2·pi))

= SIN(3·x + 6·pi) - SIN(x + 2·pi)

= (SIN(3·x)·COS(6·pi) + SIN(6·pi)·COS(3·x)) - (SIN(x)·COS(2·pi) + SIN(2·pi)·COS(x))

= (SIN(3·x)·1 + 0·COS(3·x)) - (SIN(x)·1 + 0·COS(x))

= SIN(3·x) - SIN(x)

= f(x)

Comments

b) Zeigen Sie, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Du sollst zeigen das folgendes gilt:

f(-x) = - f(x)

c)

Du sollst zeigen das folgendes gilt:

SIN(3·x) - SIN(x) = 2·SIN(x)·COS(2·x)

d)

2·SIN(x)·COS(2·x) = 0

e)

f'(x) = 0 ; Dann auf Hochpunkte prüfen.