Parametergleichung in Koordinatengleichung einer Geraden umwandeln

Question

Aufgabe:

Wenn ich eine Gerade z.B. g: \(\vec{x} = \begin{pmatrix}7\\1\\9\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-5\\2\\-4\end{pmatrix}\)  habe, wie kann ich dann eine Koordinatengleichung herausfinden.

Im Zweidimensionalen ist es klar. Man kann den Normalenvektor herausfinden und diese dann mit einem Punkt skalieren, dadurch hat man dann g.

Mit Vektoren der Ebene kann man auch zuerst denn Normalenvektor herausfinden und dann diese skalieren. Wie ist es aber, wenn ich nur einen Stützvektor habe und die Koordinatengleichung herausfinden möchte?

Answer 1

Für Geraden im Raum gibt es keine Koordinatengleichung.

Comments

Eine Gerade im Raum lässt sich durch ein System aus zwei Koordinatengleichungen beschreiben.

Answer 2

mit einer Gleichung kommst du im R^3 nicht hin, denn eine Gerade hat nur einen Freiheitsgrad. Deshalb brauchst du zwei Gleichungen um zwei Freiheitsgrade von drei zu eliminieren.

Die Gerade lässt sich als Schnittmenge zweier Ebenen darstellen. Finde also zwei nichtparallele Vektoren, die auf (-5,2,-4) senkrecht stehen. Das sind die Normalenvektoren der Ebenen.

z.B (0,2,1) und (2,1,-2)

Damit kannst du die Normalenformen der Ebenen aufstellen.

Ich erhalte damit:

$$g=\left\{(x,y,z):2y+z=11,2x+y-2z=-3\right\}$$