Beweis von U∩V = U ⇔ U ⊆ V

Question

Aufgabe:

Beweisen sie die folgende Aussage für zwei Mengen U und V: Es gilt U∩V = U ⇔ U ⊆ V

Problem/Ansatz:

Ich hab es soweit geschafft die Äquivalenz in Implikationen und die Implikationen in normale Logikoperatoren umzuwandeln. Ab hier weiß ich leider nicht weiter.

Answer 1

1)

Es gilt \( U \cap V = U \). Zu zeigen ist \( U \subset  V \)

Sei \( x \in U \) dann gilt wegen \( x \in U = U \cap V \) auch \( x \in V \) und damit \( U \subset V \)

2)

Es gilt \( U \subset  V \) zu zeigen ist \( U \cap V = U \)

Um \( U \cap V = U \) zu zeigen, musst Du (a) \( U \cap V \subset U \) und (b) \( U \subset U \cap V \) zeigen.

a) Sei \( x \in U \cap V \) dann folgt \( x \in U \) und damit \( U \cap V \subset U \)

b) Sei \( x \in U \) wegen \( x \in U \subset V \) folgt \( x \in V \) und damit \( x \in U \cap V \) und damit \( U \subset U \cap V \)

Comments

Würde das genauso schon als ausreichender Beweis für die Aussage reichen?

---

Hast Du denn die Beweis Idee verstanden. Also was man beweisen musst? Abschreiben alleine hilft ja nicht.

---

Also den Beweis an sich hab ich schon verstanden ich versteh halt nur nicht so ganz die Herleitung

---

Was meinst Du mit Herleitung? Drück dich doch mal präziser aus?

Answer 2

https://www.mathelounge.de/463598/a-b-a-b-b-beweis-zu-mengen-ansatz

https://www.mathelounge.de/369123/mengen-a-und-b-beweise-a-teilmenge-b-a-vereinigt-b-b

Comments

Das hatte ich auch schon gefunden. Gilt das gleiche dann auch für die Schnittbildung und nicht nur für die Vereinigung?