Mengenlehre und Komplemente

Question

Hallo alle zusammen,

ich sitze  schon seit Stunden an der Aufgabe und bin mir nicht sicher, wie ich das lösen soll.

Kann mir bitte einer weiterhelfen.

Aufgabe

Es sei X,Y Mengen und f: X->Y eine Funktion. Außerdem sei F ein System von Teilmengen von Y. Bweisen Sie :

Für alle B∈F gilt f^-1 (B^c  ) =( f^-1 (B))^c  ; wobei die Komplemente bzgl. X bzw. Y gebildet werden.

Muss man hierfür die Definition für das Urbild vewenden ?

Answer 1

Gleichheit A = B zweier Mengen A und B zeigt man nornmalerweise indem man zeigt

    A ⊆ B

    B ⊆ A.

Untermengenbeziehung A ⊆ B zeigt man normalerweise, indem man zeigt das jedes Element von A auch Element von B ist.

f^-1(B^c ) = ( f^-1(B))^c

1. f^-1(B^c) ⊆ ( f^-1(B))^c
Sei x ∈ f^-1(B^c).

Sei y ∈ B^c, so dass f(x) = y ist.

Dann ist y ∉ B.

Also ist x ∉ f^-1(B)

Also ist x ∈ (f^-1(B))^c.

2. ( f^-1(B))^c ⊆ f^-1(B^c)

Selbst machen

Muss man hierfür die Definition für das Urbild vewenden ?

Direkt die Definition der erwähnten Fachbegriffe verwenden ist immer eine Möglichkeit. Zum Beipiel kann man die Definition

        f`(x) = lim_h→0 (f(x+h) - f(x))/h

verwenden um zu beweisen, dass 2x + 3 die Ableitung von x²+3x ist. Das ist aber nicht notwendig, wenn man schon Summenregel und Faktorregel kennt und weiß wie man Potenzfunktionen ableitet.

Erst wenn du solche Regeln nicht kennst (d.h. noch nicht bewiesen hast), dann ist die Verwendung der Definition unausweichlich.

Answer 2

Muss man hierfür die Definition für das Urbild verwenden ?

Na klar !

Könnte so beginnen:∈

Sei  x ∈  f^(-1)(B^c  )   ==>  Es gibt ein y ∈  B^c  mit  f(x)=y .

                       y ∈  B^c bedeutet aber      y ∈ Y und y∉B

                         Wäre nun x ∈ f^(-1) (B) , dann gäbe es

                           ein   z∈B mit f(x) = z im Widerspruch

                     zur Eindeutigkeit der Abbildung f.

                 Also ist   x ∉ f^(-1) (B) also aus dem Komplement

davon d.h.      x ∈  (f^(-1)(B))^c  .

Jetzt musst du noch umgekehrt argumentieren:

Sei   x ∈  (f^(-1)(B))^c  ==> ……   ==>  x ∈  f^(-1)(B^c  )  .

Dann hast du die Gleichung bewiesen.