Wir beweisen folgende äquivalente Aussage:
\( A\subseteq B \iff \mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B) \)
Überlege dir mal, wieso die Aussage äquivalent zu deiner ist!
Hin-richtung: Gelte \(A\subseteq B\) und sei \(X\in\mathcal{P}(A)\). Zu zeigen: \( X\in \mathcal{P}(B)\).
Nach Definition von Potenzmengen gilt \(X\subseteq A\), nach Annahme gilt \(X\subseteq B\), also \(X\in\mathcal{P}(B)\).
Rück-richtung: Gelte \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(B)\) und sei \(x\in A\). Zu zeigen: \(x\in B\).
Dann gilt aber \(\{x\}\subseteq A\), also \( \{x\}\in\mathcal{P}(A)\), nach Annahme gilt dann auch \( \{x\}\in\mathcal{P}(B)\), und schließlich \(x\in X\).