A,B,C und D finden mit folgenden Eigenschaften

Question

kann mir jemand vielleicht bei dieser Aufgabe helfen?

Finde  a, b, c, d∈R, so dass die Funktion

f:R→R,x→x4+ax3+bx2+cx+d die folgenden Eigenschaft hat:

Die Gerade t mit der Geradengleichung t(x) = 3x ist die Tangente an den Funktionsgraphen von f in den Punkten (0, f(0)) und (1, f(1))

Danke

Answer 1

f ' (0) = 3  und f (0 ) = 0

f ' ( 1 ) = 3 und f (1) = 3

Answer 2

Aloha :)

Die Gesuchte hat dir Form: $$y(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$$. Ihre Ableitung lautet: $$y'(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c$$An den Punkten \(x=0\) und \(x=1\) berührt \(y(x)\) die Tangente \(t(x)=3x\). Also haben \(y(x)\) und \(t(x)\) die beiden Punkte \(P(0;0)\) und \(Q(1;3)\) gemeinsam. Außerdem sind bei diesen beiden Punkten die Steigungen gleich: \(y'(0)=t'(0)=3\) und \(y'(1)=t'(1)=3\). Das führt zu folgenden Bedingungen:

$$P(0;0)\;\;\Rightarrow\;\;0=y(0)=0^4+a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d=d\;\;\Rightarrow\;\;\underline{d=0}$$$$y'(0)=3\;\;\Rightarrow\;\;3=y'(0)=4\cdot0^3+3a\cdot0^2+2b\cdot0+c=c\;\;\Rightarrow\;\;\underline{c=3}$$$$y'(1)=3\;\;\Rightarrow\;\;3=y'(1)=4\cdot1^3+3a\cdot1^2+2b\cdot1+3\;\;\Rightarrow\;\;3a+2b+4=0$$$$P(1;3)\;\;\Rightarrow\;\;3=y(1)=1^4+a\cdot1^3+b\cdot1^2+3\cdot1+0\;\;\Rightarrow\;\;a+b+1=0$$Aus der letzen Gleichung folgt \(b=-a-1\), was wir in die vorletzte Gleichung einsetzen können:$$0=3a+2(-a-1)+4=3a-2a-2+4=a+2\;\;\Rightarrow\;\;\underline{a=-2}$$$$\Rightarrow\;\;b=-a-1=-(-2)-1=2-1\;\;\Rightarrow\;\;\underline{b=1}$$Die Gesuchte ist daher:$$y(x)=x^4-2x^3+x^2+3x$$