Aloha :)
Hier gibt es unendlich viele Lösungen. Wir bauen mal eine zusammen.
Bedingung \(1\) ist eindeutig:$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\end{array}\right.$$
Bedingung \(2\) fordert die Aufteilung von \(x\in[0;10]\) in genau 5 Intervalle, wir wählen:$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}? & \text{für }0\le x\le1\\\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\\? & \text{für }3\le x<4\\? & \text{für }4\le x<5\\? & \text{für }5\le x\le10\end{array}\right.$$die wir mit unterschiedlichen Werten belegen sollen.
Bedinung \(3\) fordert, dass die Integralbedinung erfüllt wird. Wir wählen dazu die ersten 3 Fragezeichen beliebig aus (aber Achtung: keine doppelten):$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{rl}1 & \text{für }0\le x\le1\\\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\\3 & \text{für }3\le x<4\\4 & \text{für }4\le x<5\\a & \text{für }5\le x\le10\end{array}\right.$$und überlegen uns nun den Wert für das letzte Fragezeichen bzw. \(a\):$$\small 0\stackrel!=1\cdot(1-0)+2\cdot(3-1)+3\cdot(4-3)+4\cdot(5-4)+x\cdot(10-5)=12+5a\implies a=-2,4$$
Damit haben wir eine mögliche Treppenfunktion gefunden, die alle Anforderungen erfüllt:$$\varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl}1 & \text{für }0\le x\le1\\\pink2 & \text{für }\pink{1<x<3}\\3 & \text{für }3\le x<4\\4 & \text{für }4\le x<5\\-2,4 & \text{für }5\le x\le10\end{array}\right.$$
